\documentclass[11pt]{article}

\usepackage{ifthen}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\usepackage[svgnames]{xcolor}
\usepackage{variations}
\usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}
  \setlength{\parindent}{0pt}

\usepackage{graphicx}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}+
   \fi

\usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

\usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
  \setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

\usepackage{amsmath,mathrsfs}
\usepackage[np]{numprint}

\usepackage[official,right]{eurosym}
\usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}

\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}

\begin{center} \textbf{\large{Baccalauréat Polynésie 2 juin 2021 - Espace}}  \end{center}
\begin{center}  \large{7 avril 2022 - 1h}  \end{center}

\begin{minipage}{8cm}
Dans l'espace, on considère le cube ABCDEFGH d'arête de longueur égale à 1.

On munit l'espace du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$.

On considère le point M tel que $\vect{\text{BM}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{BH}}$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-2.75)(4.5,5.5)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,5.5)\uput[u](0,5.5){$z$}
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(4.5,-1.8)\uput[dr](4.5,-1.8){$y$}
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(-4,-2)\uput[dl](-4,-2){$x$}
\pspolygon[linewidth=1.25pt](-2.4,-1.16)(0.5,-2.4)(2.85,-1.1)(2.85,2.6)(0,3.6)(-2.4,2.3)%BCDHEF
\psline[linewidth=1.25pt](-2.4,2.3)(0.5,1.06)(2.85,2.6)%FGH
\psline[linewidth=1.25pt](0.5,1.06)(0.5,-2.4)%GC
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt](-2.4,-1.16)(2.85,2.6)
\psdots(-0.65,0.093) \uput[ul](-0.65,0.093){M}
\uput[d](-2.4,-1.16){B} \uput[d](0.5,-2.4){C} \uput[d](2.85,-1.1){D} 
\uput[r](2.85,2.6){H} \uput[ur](0,3.6){E} \uput[l](-2.4,2.3){F} 
\uput[d](0,0){A} \uput[u](0.5,1.06){G}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, donner les coordonnées des points B, D, E, G et H.
\smallskip
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du triangle EGD ? Justifier la réponse.
		\item On admet que l'aire d'un triangle équilatéral de côté $c$ est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{4}c^2$.
		
Montrer que l'aire du triangle EGD est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que les coordonnées de M sont $\left(~\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{1}{3}~; ~\dfrac{1}{3}\right)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que le vecteur $\vect{n}(-1~;~1~;~1)$ est normal au plan (EGD).
		\smallskip
		\item En déduire qu'une équation cartésienne du plan (EGD) est: $- x + y + z - 1 = 0$.
		\smallskip
		\item Soit $\mathcal{D}$ la droite orthogonale au plan (EGD) et passant par le point M. 
		
Montrer qu'une représentation paramétrique de cette droite est:

\renewcommand\arraystretch{1.7}
\[\mathcal{D} \, :\, \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&\dfrac{2}{3} - t\\
y&=&\dfrac{1}{3} + t\\
z&=&\dfrac{1}{3} + t
\end{array}\right., \, t \in \R\]
\renewcommand\arraystretch{1}
	\end{enumerate}
\item Le cube ABCDEFGH est représenté ci-dessus selon une vue qui permet de mieux
percevoir la pyramide GEDM, en gris sur la figure :\\
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-7,-0.5)(2,6.8)
\psline[linewidth=2pt,fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-4.2,0.6)(-0.5,2.6)(0,4.2)(-2.9,6.2)%DMEG
\pspolygon[linestyle=dotted,linewidth=2pt,fillstyle=solid,fillcolor=gray](-2.9,6.2)(-4.2,0.6)(-0.5,2.6)%GDM
\psline[linewidth=2pt](-4.2,0.6)(0,4.2)(-2.9,6.2)%DEG
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(1.9,2.3)\uput[ur](1.9,2.3){$x$}
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(-6.4,0.9)\uput[ul](-6.4,0.9){$y$}
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,6.2)\uput[u](0,6.2){$z$}
\pspolygon[linewidth=1.25pt](0,0)(1.3,1.55)(1.3,5.8)(-2.9,6.2)(-4.2,4.6)(-4.2,0.6)%ABFGHDA
\psline[linewidth=1.25pt](-4.2,4.6)(0,4.2)(1.3,5.8)%HEF

\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt](1.3,1.55)(-2.9,2.1)(-2.9,6.2)%BCG
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt](-2.9,2.1)(-4.2,0.6)%CD

\psline[linestyle=dotted,linewidth=2pt](-0.5,2.6)(0,4.2)%ME

\uput[d](-0.5,2.6){M}
\uput[r](1.3,1.55){B} \uput[ul](-2.9,2.1){C} \uput[d](-4.2,0.6){D} 
\uput[l](-4.2,4.6){H} \uput[r](0,4.2){E} \uput[r](1.3,5.8){F} 
\uput[d](0,0){A} \uput[u](-2.9,6.2){G}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
Le but de cette question est de calculer le volume de la pyramide GEDM.

	\begin{enumerate}
		\item Soit K, le pied de la hauteur de la pyramide GEDM issue du point M.\\		
        Démontrer que les coordonnées du point K sont $\left(\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{2}{3}\right)$.
        \smallskip
		\item En déduire le volume de la pyramide GEDM.\\		
        \emph{On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par la formule }
    
\emph{$V = \dfrac{b \times h}{3}$ où 
$b$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée}.
	\end{enumerate}
\end{minipage}	
\end{enumerate}


\end{document}
