\documentclass[11pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}


\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº3 - Suites - TS}}  \end{center}
\begin{center}  \large{7 octobre 2021 - 1h20}  \end{center}


\exo{}{(9,5 points)}\\

\textbf{Partie A :} On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par 
\[f(x) = x\text{e}^{- x}.\]
 
Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $[0~;~ + \infty[$ et en déduire les variations de $f$ sur $[0~;~ + \infty[$.\\

 
\textbf{Partie B :} Ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de la fonction $f$ ainsi que la droite $\Delta$ d'équation $y = x$.\\
Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$.\\

\begin{enumerate}
\begin{minipage}{6cm}
\item En utilisant la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la droite $\Delta$, placer les termes $u_{0},\, u_{1}$ et $u_{2}$ sur l'axe des                       abscisses. Laisser les tracés apparents.\\
        
        Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ et sa limite éventuelle.
       \end{minipage}
\begin{minipage}{12cm}
\begin{center} 
 \psset{xunit=4cm,yunit=8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(2.5,1.1)
\multido{\n=0+1}{3}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](\n,0)(\n,1.1)}
\multido{\n=0.0+0.5}{3}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](0,\n)(2.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.5](0,0)(-0.1,-0.1)(2.5,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{1.1}{x}
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=5000,linecolor=blue]{0}{2.5}{x 2.71828 x exp div}
\uput[l](0.8,0.8){$\Delta$}
\uput[u](1.8,0.3){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n,~ 0 < u_{n+1}\leq u_{n}\leq1$.\\

\item \begin{enumerate}
        \item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. 
		\item On admet que la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ est solution de l'équation $f(x)=x$. \\
            Résoudre cette équation et déterminer la valeur de cette limite.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

 
\textbf{Partie C :}\\

\begin{minipage}{10cm}
Soit la suite $\left(S_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par 
\[S_{n} = \displaystyle\sum_{k= 0}^{k=n} u_{k} = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n}.\]
Compléter l'algorithme ci-contre afin qu'il calcule $S_{100}$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
 \begin{tabular}{|l|}\hline 
Déclaration des variables :\\ 
\hspace{1cm}\begin{tabular}{l}
			$S$ et $u$ sont des nombres réels\\
			$k$ est un nombre entier
		\end{tabular}\\
Initialisation :\\ 
\hspace{1cm}\begin{tabular}{l}
			$u$ prend la valeur \ldots \ldots\\
			$S$ prend la valeur \ldots \ldots\\
		\end{tabular}\\
Traitement :\\
\hspace{1cm}\begin{tabular}{l}
Pour $k$ variant de 1 à \ldots.\\
			\hspace{1cm}\begin{tabular}{l} 
				$u$ prend la valeur $u \times  \text{e}^{- u}$\\
				$S$ prend la valeur \ldots.\\
				\end{tabular}\\
Fin Pour\\ 
Afficher \ldots \ldots\\ 
\end{tabular}\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
\finexo


\newpage
\exo{}{(10,5 points)} En 2020, une influenceuse sur les réseaux sociaux compte \np{1000}~abonnés à son profil. On modélise le nombre d'abonnés ainsi: chaque année, elle perd 10\,\% de ses abonnés auxquels s'ajoutent $250$ nouveaux abonnés.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre d'abonnés à son profil en l'année $(2020 + n)$, suivant cette modélisation. Ainsi $u_0 = \np{1000}$.


\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$.
\item Justifier que pour tout entier naturel $n,\,  u_{n+1} = 0,9u_n + 250$.
\item La fonction Python nommée \og suite \fg{} est définie ci-dessous. Dans le contexte de l'exercice, interpréter la valeur renvoyée par suite(10).

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
def suite( n) :\\
\quad u = \np{1000}\\
\quad for i in range(n) :\\
\qquad  u = 0,9*u + 250\\
\quad return u\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item \begin{enumerate}
		\item Montrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $u_n \leqslant  \np{2500}$.
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
		\item Déduire des questions précédentes que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
	\end{enumerate}
\bigskip	
\item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par $v_n = u_n - \np{2500}$ pour tout entier naturel $n$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et vérifier que :
		\[u_n = - \np{1500} \times  0,9^n + \np{2500}.\]
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\bigskip	
\item En quelle année le nombre d'abonnés dépassera \np{2200} ?
\end{enumerate}
\finexo


\exo{}{(Bonus)} Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout $n \in \N$,\:
\[u_{n+1} = u_n + 3^n -7 \]
On considère la suite auxiliaire $(v_n)$ telle que, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_{n+1}-u_n$.\\
On pose $S_n=v_0+v_1+ ... +v_{n-1}$ pour tout $n \in \N$

\begin{enumerate}
\item Calculer cette somme de deux manières différentes. (en fonction de $u_n$, puis en fonction de $n$)
\item En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\finexo



\end{document}
