\documentclass[11pt]{article}

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  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
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  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
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  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}

%\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 11 (30 mn)}{}{Classe de seconde 4}{25 avril 2012}
\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº7 - Fonction Ln - TS}}  \end{center}
\begin{center}  \large{23 janvier 2018 - 1h}  \end{center}



\exo{}{(5 pts)} \emph{Cet exercice est un \og Vrai-Faux \fg. Voici 5 affirmations. 
Pour chacune d'entre elles, indiquer si elle est vraie ou fausse en la corrigeant si nécessaire.}\\
\emph{Toutes les réponses doivent être justifiées soigneusement.}\\ 

\begin{enumerate}
\item Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = \ln \left(1 - x^2\right)$ ;  
      son ensemble de définition est $]0~;~+\infty[$.
\medskip      
 	
\item Soit la fonction $g$ définie sur $]1~;~+\infty[$ par $g(x) = \ln (\ln x)$.\\ 
      L'inéquation $g(x) > 0$ admet pour ensemble de solutions $]1~;~+\infty[$.
\medskip

\item Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur $]- \infty~;~ 3[$.
On note $u'$ la dérivée de $u$.\\
On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{u}$ représentant la fonction $u$.\\
L'axe des abscisses et la droite d'équation $x = 3$ sont deux asymptotes à $\mathcal{C}_{u}$.\\
La droite d'équation $y = \text{e}$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{u}$ en son point d'abscisse $1$.
La courbe $\mathcal{C}_{u}$ coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $- 1$ et lui est tangente au point d'abscisse $2$.\\
\medskip

Soit $f$ la fonction définie par $f = \ln(u)$ sur $]-1;2[\cup]2;3[$. On note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée.\\
\medskip

\begin{minipage}{10cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-5,-1)(4,7)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-5,-1)(4,7)
\psaxes[labelsep=.75mm,ticksize=-2pt 2pt](0,0)(-5,-1)(4,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psset{linecolor=blue,linewidth=1.25pt}
\psbezier(-5,-0.08)(-2.5,-0.1)(-1.2,-.5)(-1,0)(-.6,1)(0.15,2.71828)(1,2.71828)(1.6,2.71828)(1.5,0.07)(2,0)(2.2,0)(2.6,0)(2.8,7)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](3,-1)(3,7)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,2.71828)(1,2.71828)
\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(0.5,2.71828)(1.5,2.71828)
\rput(2.4,6.5){$\mathcal{C}_{u}$}
\uput[l](0,2.71828){\footnotesize{$y = \mathrm {e}$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{enumerate}
	\item $f^{\prime}(1) = \dfrac{1}{\text{e}}$.
	\bigskip
	\item L'équation $f(x) = 1$ admet deux solutions.
	\bigskip
	\item $\displaystyle\lim_{x \to - 1} f(x) = \mI$.  
	\end{enumerate}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\finexo


\exo{}{(15 pts)}\\

\textbf{Partie A :} On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle  $[0~;~\pI[$ par 
\[f(x) = 5 ~ \ln(x+3)-x\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x$ strictement positif, on a $f(x)=x(5 ~ \dfrac{\ln x}{x} -1)+5 ~ \ln (1+ \dfrac{3}{x})$\\
      En déduire la limite de $f$ en $\pI$. 
\vspace{0.2cm}
\item On appelle $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $[0~;~\pI[$ ; calculer $f'(x)$.
\vspace{0.2cm}      
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
\vspace{0.2cm}
\item \begin{enumerate}
	\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle  $[0~;~\pI[$.
	\vspace{0.2cm}
	\item Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ de $\alpha$.
	\vspace{0.2cm}
	\item En déduire le signe de $f$ sur l'intervalle $[0~;~\pI[$.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}


\newpage
\textbf{Partie B :} Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par :
\[\left\{\begin{array}{r c l}
u_0		&=&4\\
u_{n+1} &=&5 ~ \ln (u_n + 3) ~~~ \text{pour tout entier naturel $n$}
\end{array}\right.\]

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle  $[0~;~\pI[$ par 
\[g(x) = 5 ~ \ln(x+3)\]

On a tracé dans le repère orthonormé ci-dessous, la droite $(D)$ d'équation $y=x$ et la courbe $\mathcal{C}$, 
courbe représentative de la fonction $g$.

\begin{enumerate}
 \item Construire sur l'axe des abscisses, les termes $u_0$, $u_1$ et $u_2$ de la suite $(u_n)$,
       en utilisant la droite et la courbe données, et en laissant apparaître les traits de construction.\\
       Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite $(u_n)$.
\vspace{0.2cm} 
\item \begin{enumerate}
	\item Etudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $[0;\pI[$. 
	\item Vérifier que $g(\alpha)=\alpha$, où $\alpha$ est défini dans la partie A question 4. a.
	\item Montrer par récurrence, que pour tout entier $n$, on a $0 \leq u_n \leq \alpha$.
	\item Démontrer alors la conjecture émise (on pourra utiliser la question 4. c. de la partie A.).
	\item Justifier que la suite $(u_n)$ est convergente, et montrer que $\limite{n}{\pI} u_n = \alpha$.
	\end{enumerate}
\vspace{0.2cm}

\item  \textbf{Bonus :} On considère l'algorithme suivant :\\

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline 
$u$ prend la valeur 4\\ 
Répéter Tant que $u - 14,2 < 0$\\ 
\hspace{0,5cm} $u$ prend la valeur de $5\ln (u + 3)$\\
Fin du Tant que\\ 
Afficher $u$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
	\begin{enumerate}
	 \item Justifier que cet algorithme se termine.
	 \item Donner la valeur que cet algorithme affiche (on arrondira à 5 décimales).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
\psset{unit=0.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-1)(23,17)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-1)(23,17)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(0,0)(23,17)
\psplot{0}{17}{x}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{23}{x 3 add ln 5 mul}
\uput[ul](16,16){$\mathcal{D}$}\uput[dr](22,16){\blue $\mathcal{C}$}\uput[dr](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\finexo







\end{document}