\documentclass[11pt]{article}

\usepackage{ifthen}
\usepackage{tabularx}
  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}

%\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 11 (30 mn)}{}{Classe de seconde 4}{25 avril 2012}
\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº6 - Fonction Exponentielle - TS}}  \end{center}
\begin{center}  \large{20 décembre 2017 - 2h}  \end{center}



\exo{}{(1,5 pts)} \textbf{Restitution Organisée de Connaissances}\par
\medskip
\textbf{Prérequis :} On sait que $\limite{x}{\pI}  \dfrac{\text{e} ^x}{x}=\pI$.\par
\medskip
Montrer que $\limite{x}{\mI} x\text{e} ^x=0$
\finexo
\bigskip


\exo{}{(5,5 pts)} \textbf{Les deux parties sont indépendantes}\par
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par
\[f(x) = (ax +  b) \text{e}^{x - 1} + c,\]
où $a,\,b$ et $c$ sont trois réels que l'on se propose de déterminer dans la partie A.
 
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.\par
\bigskip

\begin{minipage}{11.5cm}
\begin{center}\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-0.667)(2.667,8)
\psline{<->}(-1.33,3.55)(0.33,3.55)
\uput[r](1,5){A} \uput[r](0,2){B} \uput[u](-3.5,4){$\mathcal{C}$} 
\uput[r](1.5,6.66){$\mathcal{D}$}
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=3,gridwidth=0.3pt,griddots=8,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-5,0)(2.667,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-0.1)(2.667,8)
\psplot{-0.8}{2.}{x 3 mul 2 add}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-5}{1.6}{2.7182818 x 1 sub exp 2 x mul 1 sub mul 4 add}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7.5cm}
La courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal est représentée ci-contre.\par
La courbe $\mathcal{C}$ passe par le point $A(1~;~5)$ ; elle admet la droite $\mathcal{D}$ comme tangente en ce point.
Le point $B(0~;~2)$ appartient à la droite $\mathcal{D}$.\par
La courbe $\mathcal{C}$ admet également une tangente horizontale au point d'abscisse $- \dfrac{1}{2}.$\par
\medskip
\begin{center} \textbf{Partie  A} \end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer les valeurs de $f(1)$,\par de $f'(-\dfrac{1}{2})$ et de $f'(1)$.
\item Déterminer les valeurs de $a,\: b$ et $c$.
\end{enumerate}
\end{minipage}

\begin{center} \textbf{Partie  B} \end{center}
On admet pour la suite de l'exercice que, pour tout réel $x, ~f(x) = (2x - 1)\text{e}^{x-1} +4$.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
	\item Vérifier que, pour tout réel $x,~f(x) = \dfrac{2}{\text{e}}x\text{e}^x - \dfrac{1}{\text{e}}\text{e}^x +4$ ; 
	en déduire $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$.\par
	Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
	\end{enumerate}
\medskip	
\item \begin{enumerate}
	\item Donner pour tout réel $x$, l'expression de $f'(x)$.
	\item Établir le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\finexo
\newpage


\exo{}{(5 pts)} Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par 
\[f(x) = \text{e}^x + \dfrac{1}{x}.\] \index{fonction exponentielle} 
 
\begin{enumerate}
\item Soit la fonction $g$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par \[g(x) = x^2\text{e}^x - 1.\] 
	\begin{enumerate}
	\item Étudier le sens de variation de la fonction $g$. 
	\item Montrer qu'il existe un unique réel $a$ appartenant à $[0~;~ +\infty[$ tel que $g(a) = 0$ ;\par
	donner un encadrement de $a$ à $10^{-3}$. 
	\item Déterminer le signe de $g(x)$ sur $[0;+\infty[$.
	\end{enumerate}
	
\item \begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif : $f'(x) =  \dfrac{g(x)}{x^2}$ ;\par
	      en déduire le sens de variation de la fonction $f$. 
	\item Démontrer que la fonction $f$ admet pour minimum le nombre réel $m = \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{a}$.
      \end{enumerate} 
\end{enumerate}
\finexo
\bigskip

\exo{}{(5 pts)} On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par 
\[f(x) = 5 \text{e}^{-x} - 3\text{e}^{-2x} + x - 3.\]
 On note $\mathcal{C}_{f}$ la représentation graphique de la fonction $f$ et $\mathcal{D}$
 la droite d'équation $y = x - 3$  dans un repère orthogonal du plan.\par
 \medskip
 
\textbf{Partie A : } Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = f(x) - (x - 3)$.\par

\medskip
\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout réel $x$ sur $[0~;~+\infty[$, \:$g(x) > 0$. 
\item La courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la droite $\mathcal{D}$ ont-elles un point commun ? Justifier.
\end{enumerate}
\medskip
 
\textbf{Partie B : } On note $M$ le point d'abscisse $x$ de la courbe $\mathcal{C}_{f}$,  $N$ le point d'abscisse $x$ de la droite $\mathcal{D}$\par
et on s'intéresse à l'évolution de la distance $MN$.

\medskip
\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout $x$ sur $[0~;~+\infty[$, la distance $MN$ est égale à $g(x)$. 
\item On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur $[0~;~+\infty[$ ; calculer $g'(x)$. 
\item Montrer que la fonction $g$ possède un maximum sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ que l'on déterminera.\par
      En donner une interprétation graphique.    
\end{enumerate}
\finexo
\bigskip


\exo{}{(3 pts)} Soit $k$ un réel quelconque.\par
Déterminer, en fonction des valeurs de $k$, le nombre de solutions de l'équation 
\[\text {e}^{2x}-2x+k=0\]
\medskip
(On attend une démarche détaillée, même incomplète. Les limites ne sont pas exigées.)
\finexo

\end{document}