\documentclass[12pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}
  
\usepackage{tabularx}
  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}

%\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 11 (30 mn)}{}{Classe de seconde 4}{25 avril 2012}
\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº3 - Suites - TS}}  \end{center}
\begin{center}  \large{24 octobre 2017 - 2h}  \end{center}


\exo{}{(10 pts)} Les parties \textbf{A} et \textbf{B} sont indépendantes.\\
\medskip

\textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissance}\\
Montrer le théorème de comparaison suivant :\\
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites définies sur $\N$ telles que :
\begin{center} (1) : à partir d'un certain rang $n_0 \in \N$, on a $u_n\geq v_n$ et (2): $\limite{n}{\pI}v_n=\pI$ \end{center}
\begin{center} alors $\limite{n}{\pI}u_n=\pI$\end{center}

Aide : Traduire (1) par ``pour tout $n\geq n_0$...'', traduire (2) avec la définition du cours.\\
Choisir un entier $N$ qui vérifie les deux hypothèses et conclure.\\
\medskip

\textbf{Partie B :} On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par : 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}	&=&1\\
u_{n+1} &=&\dfrac{1}{2}u_n+n-1\\
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
 \item A l'aide de la calculatrice, conjecturer le comportement à l'infini de la suite $(u_n)$.
 \medskip
 \item \begin{enumerate}
	\item Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
	\item On admet que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 3, $u_n  \geq 0$ :\\
	  montrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, $u_n  \geq n-2$.
	\item En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
	\end{enumerate}
\medskip	
 \item On définit la suite $(v_n)$ sur $\N$ par :  \[v_n=4u_n-8n+24\]
	\begin{enumerate}
	\item Montrer que la suite $(v_n)_{n \in \N}$ est une suite géométrique.
	\vspace{0.1cm}
	\item En déduire que $u_n=\dfrac{7}{2^n}+2n-6$ pour tout entier naturel $n$.
	\item Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=x_n+y_n$,\\
	      où $(x_n)$ est une suite géométrique et $(y_n)$ est une suite arithmétique.
	\item Pour tout entier naturel $n$, en déduire l'expression de : \[S_n=u_0+u_1+\dots+u_n= \Sigma_{k=0}^{k=n} ~u_k\]  
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\finexo


\newpage
\exo{}{(10 points)} Les parties \textbf{A} et \textbf{B} sont indépendantes.\\
On s'intéresse à une population de tortues vivant sur une île et dont le nombre d'individus diminue de façon inquiétante.\\
\medskip

\textbf{Partie A :} Au début de l'an 2000, on comptait $300$ tortues. Une étude a permis de modéliser ce nombre de tortues par la suite $\left(u_n\right)$ définie par :
\[\left\{\begin{array}{r c l}
u_0		&=&0,3\\
u_{n+1} &=&0,9u_n\left(1 - u_n\right)
\end{array}\right.\]
où pour tout entier naturel $n$,\: $u_n$ modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l'année $2000+n$.

\begin{enumerate}
\item Calculer, dans ce modèle, le nombre de tortues au début de l'année 2001 puis de l'année 2002.
\item  On admet que, pour tout entier naturel $n$, \: $u_n$ et $1 - u_n$ appartiennent à l'intervalle [0~;~1].
	\begin{enumerate}
	\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant 0,9u_n$.
	\item Montrer par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant 0,3 \times 0,9^n$.
	\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.\\
	      Que peut-on en conclure sur l'avenir de cette population de tortues ?
	\end{enumerate}
\item  Des études permettent d'affirmer que, si le nombre de tortues à une date donnée est inférieur au seuil critique de $30$~individus, alors l'espèce est menacée d'extinction.\\
      On souhaite qu'à la fin de son exécution, l'algorithme ci-dessous affiche la dernière année
      \textbf{avant} laquelle il reste au moins $30$~tortues.\\
      Compléter l'algorithme afin qu'il satisfasse cette exigence.
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Variables} : 	&$u$ est un réel\\
			&$n$ est un entier naturel\\
\textbf{Traitement} : 	&$u$ prend la valeur $0,3$\\
			&$n$ prend la valeur $0$\\
			&Tant que \:\ldots \ldots \ldots \ldots\: faire :\\
			&\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{|l}\\
				~\\
				~\\
				~\\
			\end{tabular}\\						
			&Fin Tant que\\
\textbf{Sortie} : 	&Afficher \:\ldots \ldots \ldots \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}


\textbf{Partie B :} Au début de l'année 2010, il ne reste que $32$ tortues. Afin d'assurer la pérennité de l'espèce, des actions sont menées pour améliorer la fécondité des tortues. L'évolution de la population est alors modifiée et le nombre de tortues peut être modélisé par la suite 
$\left(v_n\right)$ définie par :
\[\left\{\begin{array}{r c l}
v_0		&=&0,032\\
v_{n+1} &=&1,06v_n\left(1 - v_n\right)
\end{array}\right.\]
où pour tout entier naturel $n$ modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l'année $2010+n$.

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre de tortues au début de l'année 2011 puis de l'année 2012.
\item On admet que, dans ce modèle, la suite $\left(v_n\right)$ est croissante et convergente. On appelle $\ell$ sa limite. Montrer que $\ell$ vérifie :
      \[\ell = 1,06\ell(1 - \ell).\]
\item Quel sera l'avenir de cette population de tortues ? Est-elle encore en voie d'extinction ?
\end{enumerate}
\finexo




\end{document}