\documentclass[12pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
  \usepackage{tabularx}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }7
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}
\renewcommand{\i}{\text{i}}
\input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

 

\begin{document}

%\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 11 (30 mn)}{}{Classe de seconde 4}{25 avril 2012}
\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº13 - Espace - TS}}  \end{center}
\begin{center}  \large{9 mai 2018 - 1h}  \end{center}





\exo{}{(5,5 pts)} Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$.\par
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant votre réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.\par
\vspace{0.5cm}
\textbf{Affirmation 1 : (1 pt)} Soient les points $A(1~;~2~;~3)$, $B(3~;~0~;~1)$ et $C(-1~;~0~;~1)$.\par
Les trois points $A$, $B$, et $C$ sont alignés.\par
\vspace{0.5cm}
\textbf{Affirmation 2 : (1 pt)} Soient les points $E(2~;~1~;~- 3)$ et $F(1~;~-1~;~2)$.\par
Une représentation paramétrique de la droite $(EF)$ est donnée par :
\[\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&2t\\
y&=&-3 + 4t,\\
z&=&7-10t
\end{array}\right. t\: \in \R.\]
\vspace{0.5cm}
\textbf{Affirmation 3 : (1,5 pt)} Les droites $(d)$ et $(d')$ ne sont pas coplanaires.\par
\begin{minipage}{9cm}
Une représentation paramétrique\\ de la droite $(d)$ est donnée par :
\[\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&1+2t\\
y&=&-2-3t,\\
z&=&-1-t
\end{array}\right. t\: \in \R.\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
Une représentation paramétrique\\ de la droite $(d')$ est donnée par :
\[\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&2-t'\\
y&=&1+2t',\\
z&=&t'
\end{array}\right. t'\: \in \R.\]
\end{minipage}\par
\vspace{0.5cm}
\textbf{Affirmation 4 : (2 pts)}La droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique :
\[\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&t+2\\
y&=&-2t,\\
z&=&3t-1
\end{array}\right. t\: \in \R.\]
est parallèle au plan $\mathcal{P}$ $(I,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ avec $I(3;0;0)$, $\overrightarrow{u}(1;-1;1)$ et $\overrightarrow{v}(0;1;-2)$ 
\finexo


\exo{}{(2,5 pts)} Soit le pavé droit $ABCDEFGH$ tel que $AB = 6$, $AD = 4$ et $AE = 2$.\\
$I$ et $J$ sont les points tels que $\vect{\text{AI}} = \dfrac{1}{6} \vect{\text{AB}},\:\: \vect{\text{AJ}} = \dfrac{1}{4} \vect{\text{AD}},\:\:$.\\

Tracer la section du pavé $ABCDEFGH$ par le plan $(IJG)$. On ne demande pas de justification.\\
\vspace{0.5cm}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,4)
%\psgrid
\psframe(0.5,0)(7,2.2)%ABFE
\psline(7,0)(8.6,1.1)(8.6,3.3)(7,2.2)%BCGF
\psline(8.6,3.3)(2.1,3.3)(0.5,2.2)%GHE
\psline[linestyle=dotted](0.5,0)(2.1,1.1)(8.6,1.1)%ADC
\psline[linestyle=dotted](2.1,1.1)(2.1,3.3)%DH
\uput[dl](0.5,0){A} \uput[dr](7,0){B} \uput[r](8.6,1.1){C} 
\uput[ur](2.1,1.1){D} \uput[ul](0.5,2.2){E} \uput[u](7,2.2){F} 
\uput[ur](8.6,3.3){G} \uput[u](2.1,3.3){H} \uput[d](1.583,0){I} 
\uput[u](0.9,0.275){J} \uput[l](0.5,1.1){K}
\psdots[dotsize=3pt](1.583,0)(0.9,0.275)(0.5,1.1)  
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{5cm}

%\begin{enumerate}
%\item Vérifier que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}2\\2\\- 9\end{pmatrix}$ est normal au plan $(IJG)$.
%\item Déterminer une équation du plan $(IJG)$.
%\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection $L$ du plan $(IJG)$ et de la droite $(BF)$.
%\end{enumerate}
\finexo



\newpage
\exo{}{(12 pts)} On considère le tétraèdre $OABC$ ; le repère $(O;\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC})$ est orthonormé.\par
Soient $A'$, $B'$ et $C'$ les points tels que :\par
\begin{center} $\overrightarrow{OA'}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB'}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OB}$ et $\overrightarrow{OC'}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{OC}$ \end{center}

\begin{center}  \includegraphics[scale=0.7]{./tetraedre.eps} \end{center}
\vspace{2cm}

\textbf{Partie A :} 
\begin{enumerate}
\item Justifier que les droites $(AC)$ et $(A'C')$ sont sécantes en un point $R$.\par
      En déduire de même que les droites $(AB)$ et $(A'B')$ sont sécantes en un point $S$, et que les droites $(BC)$ et $(B'C')$ sont sécantes en un point $T$. 
\item Montrer que les points $R$, $S$ et $T$ sont alignés.
\end{enumerate} 
\vspace{0.5cm}

\textbf{Partie B :}
\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées de tous les points de la figure.
\item Donner une représentation paramétrique des droites $(AC)$ et $(A'C')$, puis les coordonnées du point $R$.
\item Donner une représentation paramétrique des droites $(AB)$ et $(A'B')$, puis les coordonnées du point $S$.
\item Donner une représentation paramétrique des droites $(BC)$ et $(B'C')$, puis les coordonnées du point $T$.
\item Montrer que les points $R$, $S$ et $T$ sont alignés.
\end{enumerate}
\finexo


\end{document}