\documentclass[11pt]{article}

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  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
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  \usepackage{geometry}
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  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
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  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

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  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}

%\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 11 (30 mn)}{}{Classe de seconde 4}{25 avril 2012}
\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº11 - Intégration - Lois de probabilités - TS}}  \end{center}
\begin{center}  \large{10 avril 2018 - 2h}  \end{center}



\exo{}{(4,5 pts)} Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit ; elle effectue divers tests permettant de rejeter les peluches
ne répondant pas aux normes en vigueur. D'expérience, le concepteur sait que 9\,\% des nouveaux jouets ne répondent pas aux normes.\\
À l'issue des tests, il est noté que

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 96\,\% des peluches répondant aux normes sont acceptées par les tests ; 
\item[$\bullet~~$] 97\,\% des peluches ne répondant pas aux normes ne sont pas acceptées à l'issue des tests.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On prélève une peluche au hasard dans la production de l'entreprise. On note
 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $N$ l'évènement : \og la peluche répond aux normes en vigueur \fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $A$ l'évènement : \og la peluche est acceptée à l'issue des tests \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré représentant la situation exposée précédemment.
\item Démontrer que la probabilité qu'une peluche soit acceptée à l'issue des tests est \np{0,8763}. 
\item Calculer la probabilité qu'une peluche qui a été acceptée à l'issue des tests soit véritablement aux normes en vigueur. (arrondir le résultat au dix-millième)
\end{enumerate}
 
\textbf{Partie B}

On considère que la vie d'une peluche se termine lorsqu'elle subit un dommage majeur (déchirure, arrachage ... ). On admet que la durée de vie en années d'une peluche, notée $D$, suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
 
\begin{enumerate}
\item On sait que $P(D \leqslant 4) = 0,5$. Interpréter ce résultat dans le contexte de cet exercice.\\
      Calculer la valeur exacte de $\lambda$. 
\item On prendra ici $\lambda = \np{0,1733}$.\\
      Le jour de ses trois ans, un enfant qui joue avec cette peluche depuis sa naissance décide, voyant qu'elle est encore en parfait état, 
      de la donner à sa sœur qui vient de naître.\\
      Calculer la probabilité pour que sa sœur la garde sans dommage majeur au moins cinq années supplémentaires. (arrondir le résultat au dix-millième)
\end{enumerate}
\finexo



\exo{}{(9 pts)} Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 1.\\
On note $f_{n}$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] par ~~~ $f_{n}(x) = \dfrac{1}{1 + x^n}$\\
Pour tout entier $n \geqslant 1$, on définit le nombre $I_{n}$ par ~~~ $I_{n} = \int_{0}^1 f_{n}(x)\:\text{d}x = \int_{0}^1 \dfrac{1}{1 + x^n}\:\text{d}x$ 
 
\begin{enumerate}
\begin{minipage}{8cm}
\item Les représentations graphiques de certaines fonctions $f_{n}$ obtenues à l'aide d'un logiciel sont tracées ci-contre.\\
En expliquant votre démarche, conjecturer le sens de variation de la suite $\left(I_{n}\right)$,\\ ainsi que l'existence et la valeur éventuelle de sa limite, lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
%\begin{figure}
\begin{center}
\psset{unit=5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1.1,1.1)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=5,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.2,Dy=0.2](0,0)(1.1,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](1.05,0){$x$}\uput[r](0,1.05){$y$}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 1 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 2 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 3 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 4 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 5 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 10 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 50 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 200 exp 1 add div}
\uput[d](0.3,0.77){$f_{1}$}
\uput[d](0.4,0.86){$f_{2}$}
\uput[d](0.5,0.9){$f_{3}$}
\uput[l](0.96,0.9){$f_{50}$}
\uput[r](0.98,0.93){$f_{200}$}
\end{pspicture}
\end{center}
%\end{figure}
\end{minipage}
 
\item Calculer la valeur exacte de $I_{1}$. 
\item \begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout réel $x$ sur $[0~;~1]$ et pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : ~~~ $f_n(x) \leqslant f_{n+1}(x)$.
	\item En déduire le sens de variation de la suite $\left(I_{n}\right)$ pour tout entier naturel $n \geqslant 1$.
      \end{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x$ sur $[0~;~1]$ et pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : \[1 - x^n \leqslant f_n(x) \leqslant 1\] 
\item En déduire que $\dfrac{n}{n+1} \leqslant I_n \leqslant 1$ pour tout entier naturel $n \geqslant 1$.
\item Justifier que la suite $\left(I_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite.
\end{enumerate}
\finexo
\newpage



\exo{}{(6,5 pts)} Une entreprise spécialisée dans les travaux de construction a été mandatée pour percer un tunnel à flanc de montagne. 
Après étude géologique, l'entreprise représente dans le plan la situation de la façon suivante : dans un repère orthonormal, d'unité 2~m, la zone de creusement est la surface délimitée par l'axe des abscisses et la courbe 
$\mathcal{C}$. 

\begin{minipage}{7cm}
On admet que $\mathcal{C}$ est la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $[- 2,5~;~2,5]$ par :\\
\begin{center} $f(x) = \ln \left(- 2x^2 + 13,5\right)$\end{center}
L'objectif est de déterminer une valeur\\ approchée, au mètre carré près, de l'aire de la zone de creusement.
\end{minipage}
\begin{minipage}{12cm}
\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-0.2)(3,3.2)

\psframe[fillstyle=vlines](-3,0)(3,3)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{2.5}{13.5 x dup mul 2 mul sub ln}
\psline(2.5,0)(-2.5,0)}
\rput(-2.1,2.5){montagne}\rput(0,1.6){zone de creusement}
\uput[ur](1,2.1){$\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-3,-0.2)(3,3.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(1,1)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}


\textbf{Partie A : Étude de la fonction } \boldmath $f$ \unboldmath 

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ pour $x \in  [- 2,5~;~2,5]$.
\item Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[- 2,5~;~2,5]$.\\
      En déduire le signe de $f$ sur $[- 2,5~;~2,5]$. 
\end{enumerate}

\textbf{Partie B : Aire de la zone de creusement}

On admet que la courbe $\mathcal{C}$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées du repère. 

\begin{enumerate}
\item La courbe $\mathcal{C}$ est-elle un arc de cercle de centre $O$ ? Justifier la réponse.

\item Justifier que l'aire, en mètre carré, de la zone de creusement est $\mathcal{A} = 8\displaystyle\int_0^{2,5}  f(x)\:\text{d}x$. 
\medskip

\begin{minipage}{9cm}
\item L'algorithme suivant permet de calculer une valeur\\ approchée par défaut de $I = \displaystyle\int_0^{2,5}  f(x)\:\text{d}x$, notée $a$.\\ 
On admet que : $a \leqslant  I \leqslant a + \dfrac{f(0) - f(2,5)}{n}\times  2,5$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
 Variables\\
			\hspace{1cm}\begin{tabular}{|l} 
				$R$ et $S$ sont des réels\\
 				$n$ et $k$ sont des entiers\\
 			\end{tabular}\\ 
Traitement \\
			\hspace{1cm}\begin{tabular}{|l} 
			$S$ prend la valeur $0$\\
			Demander la valeur de $n$\\
			Pour $k$ variant de $1$ à $n$ faire\\
						\hspace{1cm}\begin{tabular}{|l}  
						$R$ prend la valeur $\dfrac{2,5}{n} \times  f\left(\dfrac{2,5}{n}\times k \right)$\\
						$S$ prend la valeur $S + R$\\
						\end{tabular}\\ 
Fin Pour\\ 
Afficher $S$\\ 
\end{tabular}\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
      \begin{enumerate}
	\item Le tableau ci-dessous, donne différentes valeurs obtenues pour $R$ et $S$ arrondies à $10^{-6}$ lors de l'exécution de l'algorithme pour $n = 50$. 
	      Compléter ce tableau en calculant les six valeurs manquantes. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{1-2}
Initialisation						&$S = 0$,   $n = 50 $&\multicolumn{2}{c}{~}\\  \hline     
Boucle Pour						&Étape $k$ 			&  $R$ &  $S$\\ \hline   
\multicolumn{1}{c|}{~}	&  1							&   \ldots   		&\ldots\\ \cline{2-4}  
\multicolumn{1}{c|}{~}	&  2							&   \np{0,130060}&\np{0,260 176}  \\ \cline{2-4}  
\multicolumn{1}{c|}{~}	&  3							&   \np{0,129968}&\np{0,390144} \\ \cline{2-4}  
\multicolumn{1}{c|}{~}	&  4							&   \np{0,129837}   &\ldots\\ \cline{2-4} 
\multicolumn{1}{c}{~}	&\multicolumn{1}{c}{\vdots}&\multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{1}{c}{\vdots}\\\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}&24 &  \np{0,118 137}&   \np{3,025705}\\ \cline{2-4} 
\multicolumn{1}{c|}{~}&25&   \np{0,116970}&   \np{3,142675} \\ \cline{2-4} 
\multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{1}{c}{\vdots}&\multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{1}{c}{\vdots}\\ \cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}&49&   \np{0,020106}&   \np{5,197538} \\ \cline{2-4}   
\multicolumn{1}{c|}{~}&50&   \ldots&  \ldots  \\ \hline
Affichage &$S = \ldots$&\multicolumn{2}{c}{~}\\ \cline{1-2}
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip	      
	      
	\item En déduire une valeur approchée, au mètre carré près, de l'aire de la zone de creusement. 
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\finexo



	
\end{document}