\documentclass[11pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
    \usepackage{tabularx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}


\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº4 - Continuité - Dérivabilité - TVI - TSpé maths}}  \end{center}
\begin{center}  \large{20 novembre 2025 - 2h }  \end{center}


\exo{}{(4,5 pts)}
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[  f(x)=\begin{cases}
       -x^2-2x \ \ \ \ &\text{si $x \leq -1$}\\
       \dfrac{1}{x+2} & \text{si $x > -1$}
      \end{cases}
\]
\begin{enumerate}
 \item $f$ est-elle continue sur $\R$ ? 
\smallskip
 \item $f$ est dérivable sur $\R$ ?
\end{enumerate}
\finexo


\exo{}{(7,5 pts)}\par
\medskip
\textbf{Partie A :} On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par 
\[f(x) = \sqrt{x + 1}.\]
On admet que cette fonction est dérivable sur ce même intervalle.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
\smallskip
\item Démontrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à $[0~;~+\infty[$ :
\[f(x) - x = \dfrac{-x^2 + x + 1}{\sqrt{x + 1} + x}.\]
\item En déduire que sur $[0~;~+\infty[$ l'équation $f(x) = x$ admet pour unique solution : $\ell = \dfrac{1 +\sqrt 5}{2}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B :} On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 5$ et pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$\par où $f$ est la fonction étudiée dans la \textbf{partie A}.\par
On admet que la suite de terme général $u_n$ est bien définie pour tout entier naturel $n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a 
\[1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n.\]
\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
\smallskip
\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $\ell = \dfrac{1 +\sqrt 5}{2}$.
\smallskip
\item On considère le script Python ci-dessous :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\ttfamily}l >{\ttfamily}l|}\hline
1 &\textbf{from} math \textbf{import} *\\
2 &\textbf{def} seuil(n):\\
3 &\qquad u=5\\
4 &\qquad i=$0$\\
5 &\qquad $\ell$ =(1 + \textbf{sqrt}(5))/2\\
6 &\qquad \textbf{while abs}(u-$\ell$)>=10**(-n):\\
7 &\qquad \qquad u=\textbf{sqrt}(u+1)\\
8 &\qquad \qquad i=i+1\\
9 &\qquad \textbf{return}(i)\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\emph{On rappelle que la commande} \textbf{abs(x)} \emph{renvoie la valeur absolue de $x$}.\par
\medskip
La valeur renvoyée par {\ttfamily seuil} (4) est 9. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\finexo


\newpage
\exo{}{(9 pts)}
On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ par 
\[f(x) = x + 1 + \dfrac{x}{\text{e}^x}.\]
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. 

\medskip

\textbf{Partie A :} Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par 
\[g(x) = 1 - x + \text{e}^x.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $g$ en $+\infty$ et $-\infty$.
\smallskip
\item Dresser le tableau de variation complet de $g$.
\smallskip
\item En déduire le tableau de signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}
  
\textbf{Partie B}\par

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$ puis la limite de $f$ en $+ \infty$.
\smallskip
\item On appelle $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur $\R$. Démontrer que, pour tout réel $x$, 
\[f'(x) = \text{e}^{- x}g(x).\]
\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
\smallskip
\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution réelle $\alpha$ sur $\R$ ;\par déterminer un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$.  
\end{enumerate}

\textbf{Partie C}\par

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
\smallskip
\item Etudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $T$.
\end{enumerate} 
\finexo


\exo{}{(Bonus)} Soit $x$ un réel. On note $\text{E}(x)=n$, sa partie entière,\par c'est-à-dire $n$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $x$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que pour pout réel $x$, on a : $x-1 \leq \text{E}(x) \leq x$.
 \smallskip
 \item En déduire $\limite{x}{\pI}\text{E}(x)$.
 \item Déterminer la valeur de $\limite{x}{0} x\text{E}(\frac{1}{x})$.
\end{enumerate}



\finexo




\end{document}