\documentclass[11pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}


\begin{center} \textbf{\large{Dev nº5 Bis - Suites - Probabilités et Variables Aléatoires- 1ère spé maths}}  \end{center}
\begin{center}  \large{8 mars 2025 - 2h}  \end{center}


\exo{}{(11,5 pts)} \emph{Léa passe une bonne partie de ses journées à jouer à un jeu vidéo et s'intéresse aux chances de victoire de ses prochaines parties.}\par
\medskip

\emph{Elle estime que si elle vient de gagner une partie, elle gagne la suivante dans 70\,\% des cas.}\par
\medskip

\emph{Mais si elle vient de subir une défaite, d'après elle, la probabilité qu'elle gagne la suivante est de $0,2$.}\par
\emph{De plus, elle pense avoir autant de chance de gagner la première partie que de la perdre.}\par
\emph{On s'appuiera sur les affirmations de Léa pour répondre aux questions de cet exercice.}\par
\medskip

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on définit les évènements suivants: 

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $G_n$ : \og Léa gagne la $n$-ième partie de la journée \fg{} ;
\item $D_n$ : \og Léa perd la $n$-ième partie de la journée \fg.
\end{itemize}

\smallskip

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $g_n$ la probabilité de l'évènement $G_n$.\par
On a donc $g_1 = 0,5$.

\medskip

\begin{enumerate}

 
\begin{minipage}{10cm}
 \item \begin{enumerate}
        \item Quelle est la valeur de la probabilité conditionnelle $p_{G_1}\left(D_2\right)$ ?
        \smallskip
        \item Compléter l'arbre des probabilités ci-contre qui modélise la situation pour les deux premières parties de la journée.
        \smallskip
        \item Calculer $g_2$.
        \end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=3.25cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$G_1~$}\taput{\ldots}}
	{\TR{$G_2~$}\taput{\ldots}
	\TR{$D_2~$}\tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$D_1~$}\tbput{\ldots}}
	{\TR{$G_2~$}\taput{\ldots}
	\TR{$D_2~$}\tbput{\ldots}
	}
}
\end{center}
\end{minipage}
\medskip
\begin{minipage}{10cm}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul.
	\begin{enumerate}
		\item Compléter l'arbre des probabilités ci-contre qui modélise la situation pour les $n$-ième et $(n + 1)$-ième parties de la journée.
		\smallskip
		\item Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul, \[g_{n+1} = 0,5g_n + 0,2.\]
	\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=3.25cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$G_n~$}\taput{$g_n$}}
	{\TR{$G_{n+1}~$}\taput{\ldots}
	\TR{$D_{n+1}~$}\tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$D_n~$}\tbput{\ldots}}
	{\TR{$G_{n+1}~$}\taput{\ldots}
	\TR{$D_{n+1}~$}\tbput{\ldots}
	}
}
\end{center}
\end{minipage}
\medskip
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $v_n = g_n - 0,4$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique.
		\smallskip
		\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a : $g_n = 0,1 \times  0,5^{n-1} + 0,4$.
    \end{enumerate}
\medskip
\item Étudier les variations de la suite $\left(g_n\right)$.
\medskip
\item Donner la limite de la suite $\left(g_n\right)$, et interpréter le résultat dans le contexte de l'énoncé.\par
\medskip

\begin{minipage}{11cm}
\item \begin{enumerate}
       \item Compléter les lignes 4, 5 et 6 de la fonction suivante,\par
écrite en langage Python, afin qu'elle renvoie le plus petit\par
rang à partir duquel les termes de la suite $\left(g_n\right)$ sont tous\par
inférieurs ou égaux à $0,401$.
\smallskip
        \item Quelle est la valeur renvoyée par l'algorithme ?
        \end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\fbox{
\sffamily
\begin{tabular}{l}
1 \quad \textbf{def} seuil() :\\
2 \quad \qquad g = 0.5\\
3 \quad \qquad n = 1\\
4 \quad \qquad \textbf{while} \ldots \dots \dots \dots :\\
5 \quad \qquad \qquad g = \dots \dots \dots \\
6 \quad \qquad \qquad n = \dots \dots \\
7 \quad \qquad \textbf{return} (n)\\
\end{tabular}
}
\end{center}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\finexo


\newpage
\exo{}{(5,5 pts)} Un joueur mise 3 \euro, puis lance un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6.\par


\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] S'il obtient un nombre pair, le joueur reçoit, en euros, le double du nombre obtenu.
\item[$\bullet~~$] S'il obtient 1 ou 3, le joueur reçoit 1 \euro.
\item[$\bullet~~$] Sinon, le joureur ne reçoit rien.
\end{itemize}

$X$ est la variable aléatoire qui donne le gain algébrique du joueur.

\begin{enumerate}
\item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire qui donne le gain algébrique du joueur.\par
(on pourra compléter le tableau ci-dessous en justifiant).

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|} \hline
Gains algébriques $X$ & ~~~~~ & ~~~~~   & ~~~~~ & ~~~~~ & ~~~~~ \\ \hline
Probabilité &  &  &  &  & \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Déterminer l'espérance et l'écart type de $X$ (si besoin, arrondir au centième).
\medskip
\item Interpréter les valeurs obtenues.
\end{enumerate}
\finexo


\exo{}{(5,5 pts)} On considère la fonction $f$ définie sur $]- 3~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{- x - 4}{x+ 3}$.\par
Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \N$ par :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}	&=&0\\
u_{n+1} &=&\dfrac{-u_n - 4}{u_n + 3}=f(u_n)
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\begin{minipage}{7cm}
\item On a tracé une partie de la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$, et la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$.\par Sur le graphique, placer $u_{0},\:u_{1}$ et $u_{2}$\par sur l'axe des abscisses.\par
Faire apparaître les traits de construction.
\medskip
\item Que peut-on conjecturer sur le sens de\par variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? sur sa limite ?
\end{minipage}
\begin{minipage}{12cm}
\begin{center}  \includegraphics[scale=0.4]{courbe.eps} \end{center}
\end{minipage}


\medskip


\item Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:
\[v_n = \dfrac{1}{u_n + 2}\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison 1.
		\smallskip
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$  \[u_n = \dfrac{1}{n + 0,5}  - 2.\]
		\smallskip
		\item Quelle semble être la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\finexo



\end{document}
