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   \fi



\newcounter{exo}


\newenvironment{exercice}[1][]
{\par\bigskip
\stepcounter{exo}
\textbf{Exercice \theexo}
\hfill #1
\par}
{\par\bigskip}

\begin{document}

\thiswatermark{\put(275,-350){%
                   \makebox(0,0)[c]{\resizebox{\textwidth}{!}{%
                   \rotatebox{45}{\color{lightgray}BREVET BLANC}}}}%
                   }


\vfill
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.8\linewidth}
\centering\begin{Huge}DIPLÔME NATIONAL DU BREVET\end{Huge}\par
\end{minipage}}


\vspace{1.5cm}

\begin{large}SESSION 2016\end{large}

\vfill

\begin{huge}\textbf{MATHÉMATIQUES}\end{huge}



\vfill

\begin{large}\textbf{Durée de l'épreuve : 2 heures}

\end{large}

\begin{center}
Barème
\end{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline Contenu mathématique & 36 points \\ 
\hline Maîtrise de la langue française & 4 points \\ 
\hline 
\end{tabular} 

\vfill

Ce sujet comporte 6 pages (y compris celle-ci) numérotées de 1 à 6. \par
\begin{center}
Le candidat doit traiter l'ensemble des huit exercices. 
\end{center}

\end{center}

\vfill

\noindent
{\setlength{\fboxsep}{1em}
\setlength{\fboxrule}{1pt}
\fbox{\begin{minipage}{\linewidth-2\fboxrule-2\fboxsep}
\begin{large}L'utilisation de la calculatrice est autorisée (circulaire nº99-186 du 16 novembre 1999).


\vspace{\baselineskip}
L'usage du dictionnaire n'est pas autorisé.

\end{large}
\end{minipage}}}

\vfill

 
\newpage
\begin{exercice}[4 points]
\vspace{0.5cm}
Cet exercice est un questionnaire à choix multiplies (QCM).\par
Pour chaque question, une seule réponse est exacte.\par
Aucune justification n'est demandée.\par
Une réponse correcte rapporte 1 point.\par
L'absence de réponse ou une réponse fausse ne retire aucun point.\par
\vspace{0.5cm}
	
\textbf{Remplir pour cela le "tableau réponses" qui se trouve en annexes à la fin du sujet.}
\vspace{0.5cm}
	
\begin{tabular}{|c|m{3cm}|m{4cm}|m{4cm}|m{4cm}|}
\cline{3-5} 
\multicolumn{2}{c|}{}  &\begin{center} \textbf{Réponse 1} \end{center}  &
                         \begin{center} \textbf{Réponse 2} \end{center} &
                         \begin{center} \textbf{Réponse 3}   \end{center}\\ 
\hline \textbf{1} & \begin{center} $\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{5}\times7=$ \end{center} &
                     \begin{center} $7$ \end{center} &
                      \begin{center} $\dfrac{17}{5}$ \end{center} &
                      \begin{center} $\dfrac{29}{25}$ \end{center} \\ 
\hline \textbf{2} &\vspace{0.2cm} \begin{center} $x(x-1)+x=$  \end{center} &
                                   \begin{center} $x^2-1$ \end{center}  &
                                    \begin{center} $2x$ \end{center} &
                                    \begin{center} $x^2$ \end{center} \\ 
\hline \textbf{3} & \begin{center} $\dfrac{14^7\times14^2}{(14^3)^{-2}}$ \end{center} &
                     \hspace{0.2cm}  \begin{center} $14^8$ \end{center} &
                     \hspace{0.5cm}  \begin{center} $14^{20}$  \end{center}&
                     \hspace{1cm}  \begin{center} $14^{15}$ \end{center} \\ 
\hline \textbf{4} & \begin{center} Un carré est un rectangle \end{center} &
                     \begin{center} toujours \end{center}  &
                      \begin{center} parfois \end{center} &
                      \begin{center} jamais \end{center}   \\ 
\hline 
\end{tabular} 
\end{exercice}


\begin{exercice}[4 points]
\medskip
Des ingénieurs de l'Office National des Forêts font le marquage d'un lot de pins destinés à  la vente.\par
\medskip
Dans un premier temps, ils estiment la hauteur des arbres de ce lot, en plaçant leur oeil au point O.
	
	\parbox{0.55\linewidth}{\includegraphics[scale=1.5]{Br5.PNG}}\hfill
	\parbox{0.30\linewidth}{Ils ont relevé les données \par suivantes :
		
		$OA = 15~m$
		
		$\widehat{\text{SOA}} = 45\degres$ et $\widehat{\text{AOP}} = 25\degres$
		
		$\widehat{\text{SAO}} = 90\degres$ et $\widehat{\text{OAP}} = 90\degres$}
	
	Calculer la hauteur $h$ de l'arbre arrondie au mètre près.
	
\end{exercice}
\newpage



\begin{exercice}[5 points]
\medskip
\end{exercice}

On donne le programme de calcul suivant :\par
\medskip
\begin{center}
		\begin{tabular}{|@{~$\bullet~~$}l l|}\hline
			&Choisir un nombre.\\ 
			&Lui ajouter 1.\\ 
			&Calculer le carré de cette somme.\\ 
			&Enlever 16 au résultat obtenu.\\ \hline
		\end{tabular}
\end{center} 
	
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Vérifier que, lorsque le nombre de départ est 4,  on obtient comme résultat $9$. 
	\item Lorsque le nombre de départ est $(- 3)$. quel résultat obtient-on ? 
	\item Le nombre de  départ étant $x$, exprimer le résultat final en fonction de $x$.\par
	      On appelle $P$ cette expression.
	\end{enumerate} 
\item \begin{enumerate}
	\item Vérifier que $(x - 3)(x + 5) = P$. 
	\item Quels nombres peut-on choisir au départ pour que le résultat final soit $0$ ?\par
	      Justifier votre réponse. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\begin{exercice}[5 points]
\medskip
Emma et Arthur ont acheté pour leur mariage $3003$ dragées au chocolat et $3731$ dragées aux amandes.
\begin{enumerate}
\item Arthur propose de répartir ces dragées de façon identique dans $20$ corbeilles.\\
      Chaque corbeille doit avoir la même composition.\\
      Combien lui reste-t-il de dragées non utilisées?
			
\item Emma et Arthur changent d'avis et décident de proposer des petits ballotins$^{*}$ dont la composition est identique. Ils souhaitent qu'il ne leur reste pas de dragées.
      \begin{enumerate}
	\item Emma propose d'en faire $90$. Ceci convient-il? Justifier.
	\item Ils se mettent d'accord pour faire un maximum de ballotins.\\
	      Combien en feront-ils et quelle sera leur composition?
	\end{enumerate}

\end{enumerate}\par
$^{*}$ Un ballotin est un emballage pour confiseries, une boîte par exemple.
\end{exercice}
	
	
	
\begin{exercice}[6 points]
\medskip
Un site internet propose de télécharger légalement des clips vidéos.\par
Pour cela, sur la page d'accueil, trois choix s'offrent à nous :
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]Premier choix : téléchargement \textbf{direct sans inscription}. Avec ce mode, chaque clip peut être téléchargé pour 4~euros.
\item[$\bullet~~$]Deuxième choix : téléchargement \textbf{membre}. Ce mode nécessite une inscription à  10~euros, valable un mois et permet d'acheter par la suite chaque clip pour 2 euros.
\item[$\bullet~~$]Troisième choix : téléchargement \textbf{premium}. Une inscription à  50~euros permettant de télécharger tous les clips gratuitement pendant un mois.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Je viens pour la première fois sur ce site et je souhaite télécharger un seul clip. Quel est le choix le moins cher ?

\item Pour cette question, utiliser l'annexe 1 qui se trouve à la fin du sujet.
	\begin{enumerate}
	\item Compléter le tableau.
	\item À partir de combien de clips devient-il intéressant de s'inscrire en tant que membre ?
	\end{enumerate}
\newpage	
\item Dans cette question, $x$ désigne le nombre de clips vidéos achetés.\par
      $f,\: g$ et $h$ sont trois fonctions définies par :
	
	\setlength\parindent{8mm}
	\begin{itemize}
	\item[$\bullet~~$]$f(x) = 50$
	\item[$\bullet~~$]$g(x) = 4x$
	\item[$\bullet~~$]$h(x) = 2x + 10$
	\end{itemize}
	\setlength\parindent{0mm}
	
	\begin{enumerate}
	\item Associer chacune de ces fonctions au choix qu'elle représente (direct, membre ou premium).
	\item Dans le repère de l'annexe 2 en fin de sujet, tracer les représentations graphiques des fonctions $f,\: g$ et $h$.
	\item À l'aide du graphique, déterminer le nombre de clips à  partir duquel l'offre premium devient la moins chère.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}[4 points]
\medskip
Pour filmer les étapes d'une course cycliste, les réalisateurs de télévision utilisent des
caméras installées\par sur deux motos et d'autres dans deux hélicoptères. Un avion relais,
plus haut dans le ciel, recueille\par les images et joue le rôle d'une antenne relais.
On considère que les deux hélicoptères se situent\par à la même altitude et que le peloton  des coureurs roule sur une route horizontale.\par
Le schéma ci-dessous illustre cette situation :
	
\begin{center} \includegraphics{Br4} \end{center}\par
\medskip
L'avion relais (point A), le premier hélicoptère (point L) et la première moto (point N) sont alignés.\par
De la même manière, l'avion relais (point A), le deuxième hélicoptère (point H) et la deuxième moto\par
(point M) sont également alignés.\par
\medskip	
On sait que : AM = AN = 1 km ; HL = 270~m et AH = AL = 720~m.
\medskip
	
\begin{enumerate}
\item Relever la phrase de l'énoncé qui permet d'affirmer que les droites (LH) et (MN) sont parallèles.
\item Calculer la distance MN entre les deux motos.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\newpage
\begin{exercice}[4 points]
\begin{multicols}{2}
On donne une capture d'écran d'une feuille\par de calcul d'un tableur.\par
\bigskip
\includegraphics[scale=0.7]{tableur1_bb.png}\par
\bigskip		
La colonne B donne les valeurs de l'expression\par $4x^2 +2x - 2$ pour quelques valeurs de $x$\par de la colonne A.

\begin{enumerate}
\item Quelle formule a-t-on écrite\par dans la cellule B2? 
\bigskip
\item Le résultat de la cellule B10 a été effacé.\par Quel est ce résultat?
\item À l'aide du tableur, trouver une solution de l'équation : $4x^2 + 2x - 2 = 0$. 
\item L'unité de longueur est le cm.\par
      Donner une valeur de $x$ pour laquelle l'aire du triangle ci-dessous est égale à 70 cm$^2$.\par
      Justifier.
\end{enumerate}
\includegraphics[scale=0.6]{triangle_bb.png}
\hspace*{2cm} $AC=8x-4$ et $BH=x+1$.
\end{multicols}
	
\end{exercice}


\begin{exercice}[4 points]
\vspace{0.3cm}
Une haltère en acier est composée d'un cylindre de hauteur $0,15$ $m$ dont la base est un disque\par de diamètre $2$ $cm$ sur lequel sont soudées deux boules identiques de diamètre $1,3$ $dm$.
\vspace{0.3cm}

Calculer la masse de l'haltère arrondie au dixième de kilogramme sachant que la masse volumique\par de l'acier est $7,8$ $g.cm^{-3}$.
\vspace{0.3cm}
	
Informations : 
\begin{enumerate}
\item Soit un cylindre de hauteur $h$ et de base un disque de rayon $r$, le volume du cylindre est donné par la formule suivante: $V=\pi r^2 h$.
\item Soit une boule de rayon $r$, le volume de la boule est donné par la formule suivante: $V=\dfrac{4}{3} \pi r^3$.
\end{enumerate}

\includegraphics[scale=0.1]{haltere_bb.jpg}
\end{exercice}


\mbox{}\newpage

\begin{center} \begin{Large} \textbf{{Annexes à rendre avec la copie.}} \end{Large} \end{center}

\textbf{Nom et prénom:}\par
\vspace{0.2cm}
\textbf{Classe:}
\vfill


\textbf{\large{Exercice 1 (QCM):}}\par
\vspace{0.5cm}
\textbf{Remplir le tableau suivant en faisant une croix dans la case qui correspond}\par \textbf{à la bonne réponse.}\par
\vspace{0.5cm}
\begin{center}
	\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
		\hline  & Réponse 1 & Réponse 2 & Réponse 3 \\ 
		\hline 1 &  &  &  \\ 
		\hline 2 &  &  &  \\ 
		\hline 3 &  &  &  \\ 
		\hline 4 &  &  &  \\ 
		\hline 
	\end{tabular} 
\end{center}

\vfill

%\begin{center}
	
	\textbf{\large Exercice 5: ANNEXE 1 }
	
	\bigskip
	
	\includegraphics{Br1.PNG}
	
	\vspace{1cm}
	
	\textbf{\large Exercice 5: ANNEXE 2 }
	
	\vspace{1cm}
	
	\includegraphics{Br2.PNG}
%\end{center}
\vspace{0.8 cm}

\vfill




\end{document}
