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\newcommand{\exo}[1]{\begin{exercice}{}}
\newcommand{\finexo}{\end{exercice}}


\pagestyle{empty}
\begin{document}


\begin{center} \textbf{\begin{Large}1S - AP - Vecteurs et Droites \end{Large}}\end{center}

\begin{exercice}
On considère un triangle $ABC$ ; les points $D$, $E$, et $F$ sont définis par :\par
\begin{center} $\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{BC}$ \end{center}
Le but de l'exercice est de montrer que $D$, $E$ et $F$ sont alignés.\par
\vspace{0.2cm}
\begin{enumerate}

 \item \textbf{Solution vectorielle}
	\begin{enumerate}
	 \item Décomposer $\overrightarrow{DE}$ et $\overrightarrow{DF}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
	 \item Démontrer que $D$, $E$ et $F$ sont alignés.
	\end{enumerate}
 \vspace{0.2cm}
 \item \textbf{Solution analytique dans le repère $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$}
	\begin{enumerate}
	 \item Déterminer les coordonnées de tous les points.
	 \item Démontrer que $D$, $E$ et $F$ sont alignés.
	 \item Déterminer une équation cartésienne de $(EF)$ et vérifier que $D \in (EF)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}



\begin{exercice}
On considère les points $A(-2;1)$, $B(1;2)$, $C(7;4)$, $A'(0;-2)$, $B'(1;-2)$ et $C'(5;-2)$.
\vspace{0.2cm}
\begin{enumerate}

 \item Vérifier que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés, ainsi que les points $A'$, $B'$ et $C'$.

 \item \begin{enumerate}
	\item Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AC')$ et une équation cartésienne de $(A'C)$.
	\item En déduire les coordonnées de $E$, point d'intersection de $(A'C)$ et $(AC')$.
	\end{enumerate}

\item De la même manière, déterminer les coordonnées de $F$, point d'intersection de $(B'C)$ et $(BC')$.

\item Soit $D(\dfrac{1}{5};\dfrac{-6}{5})$ ; vérifier que $D$ appartient aux droites $(AB')$ et $(A'B)$.

\item Démontrer que les points $D$, $E$ et $F$ sont alignés.
\end{enumerate}
\vspace{1cm}

\textbf{Remarque :} Si on change la position des triplets de points alignés $A$, $B$, $C$ et $A'$, $B'$, $C'$,\par
les points $D$, $E$ et $F$ restent alignés. Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Pappus.
\end{exercice}



\end{document}