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\newcommand{\exo}[1]{\begin{exnormal}{}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}

\pagestyle{empty}
\begin{document}


\begin{center} \begin{Large}\textbf{Exercices de révision - 1S} \end{Large} \end{center}
\vspace{0.2cm}


\setlength{\columnseprule}{0.5pt}
\setlength{\columnsep}{1cm}
\begin{multicols}{2}

\section{Second degré}

\exercice{\textborn - Equations - 5mn}

Résoudre dans $\R$ : $3x^2-5x+1=0~~~~~~~~~2x^2-4=0$


\exercice{\textborn - Inéquations - 5mn}

Résoudre dans $\R$ : $x^2-3x+2>0~~~~~~~~~~2x^2-x\geq (x+1)^2$


\exercice{\textborn - Inéquations - 5mn}

Résoudre l'inéquation : $\dfrac{x^2-3x+2}{x+2}\leq 0$


\exercice{\textborn - Variations, courbe - 5mn}

Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-2x^2+x+1$.\par                
Dresser le tableau de variation de $f$ (sans calculer la dérivée), puis donner\par
l'allure de la courbe représentative de $f$, en plaçant avec précision\par
le sommet et les  points d'intersection avec les axes du repère.


\exercice{\textborn \textborn \textborn - Equation de degré 3 - 5mn}

Résoudre dans $\R$ : $2x^3-4x^2+3x-1=0$


\section{Dérivation}

\exercice{\textborn - Calcul de dérivées - 5mn}

Justifier que la fonction $f$ est dérivable sur $D$, puis calculer $f'(x)$:
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^2-2x+\sqrt{2}$ et $D=\R$
\item $f(x)=\dfrac{3}{x^2+1}$ et $D=\R$
\item $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-2}$ et $D=\R \setminus\left\lbrace 2 \right\rbrace $
\end{enumerate}


\exercice{\textborn - Variations - 5mn}

Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ définie sur $\R$ par :\par
$f(x)=x^3-3x^2+3x-2$, puis déterminer le nombre de solutions de $f(x)=0$.


\exercice{\textborn - Equation d'une tangente - 5mn}

On donne la fonction $f$ définie sur $\R^*$ par $f(x)=\dfrac{3}{x^2}$,\par
et on note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.\par
Donner l'équation réduite de la tangente $T$ à $C_f$ au point d'abscisse 1.


\exercice{\textborn - Nombre dérivé, lectures graphiques - 5mn}

On donne la courbe représentative $C_f$ d'une fonction $f$ définie sur $\R$,\par
et les tangentes à  $C_f$ aux points d'abscisses $-2$, $0$ et $2$. La fonction $f$ admet\par
de plus, des extremums locaux aux points d'abscisses $-1$ et $1$.\par
Déterminer graphiquement $f'(-2)$, $f'(-1)$, $f'(0)$, $f'(1)$ puis $f'(2)$.\par
\vspace*{2cm}
\includegraphics[scale=0.5]{./fig1.jpg}


\newpage
\section{Probabilités - Loi binomiale - Echantillonnage}

\exercice{\textborn - Probabilités - 5mn max}

Un magasin réceptionne un lot de 10 de pièces mécaniques et la probabilité\par
qu'une pièce de ce lot soit défectueuse est de 0,01.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'aucune des dix pièces de ce lot ne soit défectueuse.
\item Calculer la probabilité que au moins une pièce du lot soit défectueuse.
\end{enumerate}


\exercice{\textborn - Variable aléatoire, espérance - 10mn }

On s'intéresse à la livraison de compositions florales d'un certain type\par
destinées à une chaîne d'hypermarchés.\par
On note $D$ l'événement "la composition est défectueuse" avec $p(D)=0,025$.\par
On prélève au hasard 12 compositions dans la livraison pour vérification,\par
et on suppose que cette livraison contient suffisamment de compositions\par
pour que ce prélèvement puisse être assimilé à un tirage avec remise.\par
On considère la variable aléatoire $X$ qui à tout prélèvement ainsi défini\par
associe le nombre de compositions défectueuses.\par
\vspace{0.2cm}
Justifier que $X$ suit un loi binomiale dont on précisera les paramètres, puis\par
calculer la probabilité qu'il y ait au plus une composition défectueuse dans le lot.


\exercice{\textborn - Echantillonnage - 10mn }

Une machine fabrique des cylindres pour l'industrie automobile,\par
et  un cylindre est accepté si son diamètre est compris entre 19,9 et 20,1 mm.\par
Une étude a permis de constater que 85\% des cylindres sont acceptés\par
lorsque la machine est bien réglée.\par
Un contrôleur prélève 100 cylindres et obtient les mesures suivantes:\par
\vspace{0.2cm}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
diamètre (mm)&19,6&19,7&19,8&19,9&20&20,1&20,2&20,3\\
\hline
effectif&4&7&8&25&32&12&7&5\\
\hline
\end{tabular}
\vspace{0.2cm}

Déterminer l'intervalle de fluctuation au seuil de 5\%.\par
La  fréquence observée est-elle compatible avec le fonctionnement correct\par
de la machine ?\par
\vspace{1.5cm}


\section{Suites}

\exercice{\textborn - Suites arithmétiques - 5mn }

On donne la suite arithmétique $(u_n)$ telle que  $u_1=3$ et $u_9=33$.\par
Calculer sa raison puis $u_0+u_1+....+u_{10}$


\exercice{\textborn - Suites géométriques - 5mn }

Calculer $1+3+9+27+.......+59049$ en utilisant une suite géométrique.


\exercice{\textborn - Variations - 10mn }

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout $n\in\N$ par $u_n=2+\dfrac{1}{n+1}$.\par
En utilisant la fonction $f$ associée à la suite $(u_n)$,\par
étudier les variations de $(u_n)$.\par
Retrouver ensuite ce résultat sans utiliser de fonction.


\exercice{\textborn \textborn \textborn - Suites associées - 15-20mn }


On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_0=3$ et $v_0=4$\par
et les relations $u_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}{2}$ et $v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}+v_n}{2}$

\begin{enumerate}
\item Avec la calculatrice, calculer les trente premiers termes de chacune\par
      de ces deux suites. Que peut-on conjecturer sur les variations\par
      et la limite de  chaque suite ?
\item On considère la suite $(w_n)$ définie par $w_n=v_n-u_n$.\par
      Montrer que la suite $(w_n)$ est géométrique de raison 0,25 ;\par
      exprimer $w_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire les variations de $(u_n)$ et de $(v_n)$.
\item Prouver la conjecture émise sur la limite des suites ($u_n)$ et $(v_n)$
\end{enumerate}

\section{Fonctions carré et racine carrée}

\exercice{\textborn - Encadrements - 10mn }

Rappeler les variations des fonctions carré et racine carrée.\par
Le réel $x$ est tel que $1<x<3$.\par
Donner une encadrement (en justifiant) de $(x-5)^2+2$ puis de $\sqrt{6-2x}$



\newpage
\section{Vecteurs Colinéaires}

\exercice{\textborn - Points alignés}\par
Soit $ABC$ un triangle. On considère le point $I$ tel que $\overrightarrow{AI}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}$,
le point $G$ symétrique de $C$ par rapport à $I$ et le point $H$ défini par $\overrightarrow{AH}=-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.
\begin{enumerate}
\item Tracer la figure.
\item Montrer que les points $A$, $G$ et $H$ sont alignés.
\end{enumerate}


\exercice{\textborn \textborn - Points alignés avec coordonnées}\par
Soit $ABCD$ un quadrilatère quelconque. On définit un repère $(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD})$.\par
On appelle $I$ et $J$ les milieux respectifs des segments $[AB]$ et $[CD]$.
On définit les points $M$, $N$ et $P$ de la façon suivante : $\overrightarrow{AM}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}$,
 $\overrightarrow{IN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{IJ}$ et  $\overrightarrow{BP}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}$.\par

\includegraphics[scale=0.8]{./figure1.eps}

\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
	\item Déterminer les coordonnées de tous les points.
	\item Montrer que le point $N$ est le milieu de $[MP]$.
	\end{enumerate}

\item On définit les points $Q$ et $R$ de la façon suivante : $\overrightarrow{CQ}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}$ et
 $\overrightarrow{DR}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DB}$.
	\begin{enumerate}
	\item Déterminer les coordonnées des points $Q$ et $R$.
	\item Montrer que le point $N$ est le milieu de $[RQ]$.
	\end{enumerate}

\item Soit $S$ le milieu du segment $[IC]$.
	\begin{enumerate}
	\item Montrer que les points $D$, $N$ et $S$ sont alignés.
	\item Que représente le point $N$ pour le triangle $CDI$ ?
	\end{enumerate}

\end{enumerate}


\section{Produit scalaire}

\exercice{\textborn \textborn - Décomposition de vecteurs}\par
$ABC$ est un triangle tel que $AB=2$ et $AC=4$ ;\par
de plus, $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$, et $AH=1$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$. (décomposer $\overrightarrow{AB}$ ou $\overrightarrow{AC}$ par la relation de Chasles).
\item Calculer $\Arrowvert 3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC} \Arrowvert$.
\end{enumerate}


\exercice {\textborn \textborn - Montrer que deux droites sont perpendiculaires}\par
$ABC$ est un triangle quelconque,\par
$BAE$ et $CAF$ sont deux triangles rectangles isocèles.\par
On note $AB=c$, $AC=b$ et $\widehat{BAC}=\alpha$.\par
\includegraphics[scale=0.7]{figure.eps}
\begin{enumerate}
\item Calculer $\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}$ en fonction de $b$, $c$ et $\alpha$ ;\par
      en déduire que $\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}$.
\item On note $I$ le milieu de $[BC]$.\par
      Montrer que $(AI)$ et $(EF)$ sont perpendiculaires.\par
      (décomposer par la relation de Chasles $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{EF}$)
\end{enumerate}


\newpage
\section{Applications du produit scalaire}


\exercice{\textborn - Calcul d'angle}\par
Dans un repère orthonormal $\Oij$, on considère les points $A(-1;-2)$,\par
$B(2;4)$ et $C(6;2)$.
\begin{enumerate}
\item Calculer une valeur approchée de l'angle $\widehat{BAC}$.
\item Démontrer que $ABC$ est un triangle rectangle en $B$.
\end{enumerate}



\exercice{\textborn - Calculs d'angle et aire}\par
Soit un triangle $ABC$ tel que $AB=15$, $AC=13$ et $BC=12$.\par
On appelle $H$ pied de la hauteur issue de $A$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la valeur de $\cos (\widehat{BAC})$ ; en déduire $\sin(\widehat{BAC})$.
\item Calculer l'aire du triangle $ABC$ ; en déduire la longueur $AH$.
\end{enumerate}



\exercice{\textborn - Equations de droites}\par
Le plan est muni d'un repère orthonormal $\Oij$ ; $\cald$ est la droite d'équation\par
$3x-y+5=0$ et $A$ est le point de coordonnées $(-1;3)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la droite $\cald_{1}$ parallèle à $\cald$ passant par $A$.
\item Déterminer une équation de la droite $\cald_{2}$ perpendiculaire à $\cald$ passant par $A$.
\end{enumerate}


\exercice{\textborn - Equations de cercles et de droites}\par
Dans le plan muni d'un repère orthonormal $\Oij$,\par
on considère le triangle $OAB$ avec $A(4;0)$ et $B(1;1)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation du cercle $\calc$ circonscrit au triangle $OAB$.\par
      (écrire les équations de deux médiatrices...)
\item Calculer les coordonnées du point $A'$ ($\neq O$), intersection du cercle avec l'axe des ordonnées.
\item Montrer que les tangentes au cercle en $A$ et $A'$ sont parallèles.
\item Faire une figure.
\end{enumerate}


\exercice{\textborn \textborn - Ensembles de points}\par
Soient deux points du plan $A$ et $B$ tels que $AB=2$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer et tracer l'ensemble $\cale_{1}$ des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=-2$.
\item Déterminer et tracer l'ensemble $\cale_{2}$ des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=1$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
\exercice{\textborn \textborn - Ensembles de points}\par
$A$ et $B$ sont deux points tels que $AB=5$ cm.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer et tracer l'ensemble $\cale$ des points $M$ tels que $MA^2-MB^2=20$.
 \item Déterminer $\calf$ l'ensemble des points $M$ tels que $(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}).\overrightarrow{MA}=0$,\par
      et le représenter sur la même figure.
\end{enumerate}




\section{Trigonométrie}


\exercice{\textborn - Equations et inéquations}\par
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $[-\pi;\pi]$ l'équation : \hspace{1cm} $ 1-\sqrt{2} \cos (\dfrac{\pi}{3}-x)=0 $
\item Résoudre dans $[-\pi;\pi]$ l'équation : \hspace{1cm} $ \sin(2x-\dfrac{\pi}{6})=\cos(\dfrac{\pi}{4}-x)$
\item Résoudre dans $[0;2\pi[$ l'inéquation : \hspace{1cm} $ 2\sin x +\sqrt 3 >0 $
\item Résoudre \hspace{0.2cm} $\cos(2x-\dfrac{\pi}{3})\geq \dfrac{1}{2}$ \hspace{0.2cm} sur $[0;2\pi[$
\item Résoudre \hspace{0.2cm} $\cos(3x)=\sin(x-\dfrac{\pi}{4})$ \hspace{0.2cm} sur $]-\pi;\pi]$
\item On veut résoudre dans $\R$ l'équation : \hspace{0.2cm}$\cos x+\sqrt{3}\sin x=-2$.
	\begin{enumerate}
 	\item Vérifier que : \hspace{0.2cm} $\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\cos(x-\dfrac{\pi}{3})$.
	\item Montrer que : \hspace{0.2cm} $\cos x+\sqrt{3}\sin x=-2 \Longleftrightarrow \cos(x-\dfrac{\pi}{3})=-1$
	\item En déduire les solutions de \hspace{0.2cm} $\cos x+\sqrt{3}\sin x=-2$ dans $\R$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\exercice{\textborn - Formules de duplication }\par
On donne \hspace{0.2cm} $\sin a=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$ \hspace{0.2cm} avec $a\in [0;\dfrac{\pi}{2}]$.
\begin{enumerate}
 \item Calculer $\cos 2a$ et $\sin 2a$.
 \item Vérifier par le calcul que $\cos 4a=\sin a$.
 \item Résoudre l'équation précédente pour en déduire la valeur exacte de $a$.
\end{enumerate}


\exercice{\textborn \textborn - Formules de duplication }\par
\begin{enumerate}
\item On donne $\sin x=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$ et $x \in [0;\dfrac{\pi}{2}]$ ; calculer $\cos x$, $\sin 2x$ et $\cos 2x$,\par
      et en déduire la valeur de $x$.
\item Montrer l'égalité : \hspace{0.2cm} $ 4\cos^2 x + 2\sin^2 x = 3+\cos 2x $
\item Simplifier l'expression \hspace{0.2cm} $A(x)=\sin 3x\cos x-\sin x\cos 3x$ \hspace{0.2cm} ;\par
      en déduire que \hspace{0.2cm} $\dfrac{\sin 3x}{\sin x}-\dfrac{\cos 3x}{\cos x}=2$.
\end{enumerate}



\end{multicols}
\end{document}