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\newcommand{\exo}[1]{\begin{exercice}{}}
\newcommand{\finexo}{\end{exercice}}

%Pour compiler les figure en pdflatex

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     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi


\pagestyle{empty}
\begin{document}

\vspace*{0.2cm}
\devoir{1èreS}{6}{15 janvier 2013}{2h}



\begin{exercice}[(4 pts)]\par
\textit{Dans cet exercice, il n'est pas demandé de justifier la dérivabilité des fonctions à étudier.}\par
La fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=3x^4+4x^3+30x^2-84x+2$.

\begin{enumerate}
\item La fonction $g$ est définie sur $\R$ par $g(x)=3x^3+3x^2+15x-21$.\par
      Déterminer le signe de $g(x)$ avec la méthode  de votre choix (traiter \textbf{une seule des deux questions ci-dessous}) 

      \begin{enumerate}
      \item Méthode 1: Calculer $g'(x)$ et dresser le tableau de variation de $g$.\par
      Calculer $g(1)$ et en déduire le signe de $g(x)$.
      \item Méthode 2 : Calculer $g(1)$ puis déterminer $a$, $b$ et $c$ tels que $g(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)$.\par
      En déduire le signe de $g(x)$.
      \end{enumerate}

\item  Calculer $f'(x)$ et en déduire les variations de $f$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}[(6 pts)]\par
On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $[-10;10]$ par $f(x)=\dfrac{x-1}{x^2+3}$.\par
On note $C_f$ sa courbe représentative partiellement tracée dans le repère orthogonal ci-dessous.

\begin{enumerate}
\item Justifier la dérivabilité de $f$ sur $[-10;10]$, puis calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variation de $f$.\par
      On donnera les valeurs exactes des extremums.

\item Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à $C_f$ au point $A$ d'abscisse 1.

\item Compléter le tracé de $C_f$ dans le repère ci-dessous en traçant les tangentes parallèles à l'axe des abscisses,\par et la droite $T$.
\end{enumerate}

\begin{center} \includegraphics[scale=0.6]{fig5} \end{center}
\end{exercice}



\begin{exercice}[(5 pts)]
$ABCD$ est un carré de côté 4 cm.\par
Pour tout $M$ de $[AB]$, on nomme $I$ le point d'intersection  de $[DM]$ et $[AC]$.\par
$H$ est le pied de la hauteur issue de $I$ dans $AIM$ et $G$ est le pied de la hauteur issue de $I$ dans $DIC$.\par
$x$ est la longueur $AM$, et $A(x)$ est l'aire totale des deux triangles $AMI$ et $DIC$.\par
\textbf{Toutes les questions sont indépendantes.}

\begin{minipage}{13cm}
\begin{enumerate}
\item Calculer $A(0)$ et $A(4)$.

\item Soit $h$ la hauteur issue de $I$ dans le triangle $AMI$.\par
      Montrer, en utilisant Thalès, que $\dfrac{IM}{ID}=\dfrac{x}{4}$ et que $\dfrac{IM}{ID}=\dfrac{h}{4-h}$ ;\par
      En déduire  que $\dfrac{h}{4-h}=\dfrac{x}{4}$ puis que $h=\dfrac{4x}{x+4}$.

\item Montrer que $A(x)=\dfrac{2(x^2+16)}{x+4}$ sur $[0;4]$.

\item Etudier le sens de variation de la fonction $A$, et en déduire la position de $M$ assurant une aire minimale.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{4cm}
 \includegraphics [scale=0.6]{fig9}
\end{minipage}

\end{exercice}



\newpage
\vspace*{0.5cm}

\begin{exercice}[(2 pts)]
\begin{minipage}{6cm}
Une fonction homographique est définie par une relation de la forme\par
$f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$, $a$ et $c$ différents de 0.

%l

On donne $f'(x)=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2}$

%l

Compléter l'algorithme ci-contre\par permettant de calculer le nombre dérivé pour une valeur $x$ saisie par\par l'utilisateur.

%l
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{fig7}
\end{center}
\end{minipage}
\end{exercice}


\begin{exercice}[(3 pts)]
On considère un édifice de forme parabolique dont la parabole est la représentation graphique de la fonction $f$\par
définie sur $[-\sqrt{18};\sqrt{18}]$ par $f(x)=9-0,5x^2$.\par
L'édifice est surmonté d'un mat vertical (segment $[AB]$).\par
Un observateur, placé sur l'axe des abscisses, dont les yeux (point $F$) sont à 2 mètres du sol,\par
regarde vers le haut de l'édifice, et se déplace vers l'édifice.\par
A partir de quelle position sur l'axe des abscisses ne pourra-t-il plus voir le haut du mat (point $B$) ?

\textbf{Toute trace de recherche, y compris sur le graphique sera prise en compte dans la notation.}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.75]{fig8}
\end{center}
\end{exercice}


\end{document}