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\newcommand{\exo}[1]{\begin{exercice}{}}
\newcommand{\finexo}{\end{exercice}}

%Pour compiler les figure en pdflatex

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   \fi


\pagestyle{empty}
\begin{document}

\vspace*{0.3cm}
\devoir{1èreS}{12}{21 mai 2013}{2 h}
\vspace*{-0.3cm}


\begin{exercice}[(7 pts)]
\begin{enumerate}
\item La suite $(u_n)$ est d\'efinie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=n^2-3n+2$ est-elle arithm\'etique?
\medskip

\item $(u_n)$ est une suite arithm\'etique de premier terme $u_1$ et de raison $r$ telle que $u_{12}=25$ et $u_{20}=49$.\par
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ puis calculer $u_1+u_2+.......+u_{30}$.
\medskip

\item $(u_n)$ est une suite g\'eom\'etrique de raison $q=0,4$ et de premier terme $u_0=-3$.\par
Etudier les variations de la suite $(u_n)$.
\medskip

\item Calculer $1 + 2 + 4 + 8+16 \cdots + 16384 + 32768$ en  utilisant une suite g\'eom\'etrique,\par
dont on pr\'ecisera la raison et le premier terme.
\medskip

\item La suite $(u_n)$ est d\'efinie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=n^3-2n^2+5n-3$.\par
Etudier les variations de $(u_n)$.
 \medskip
 
\item La suite $(u_n)$ est d\'efinie pour tout entier naturel $n\geq 1$ par la relation $u_{n+1}=\dfrac{2u_n}{n}$ et $u_1=2$.\par
On admettra que pour tout entier naturel $n \geq 1$, $u_n>0$.\par
Etudier les variations de la suite $(u_n)$.\par
En d\'eduire, en utilisant la calculatrice,  le plus petit entier naturel $n \geq 3$ tel que  $u_n <10^{-10}$.

\end{enumerate}
\end{exercice}



\begin{exercice}[(7 pts)]
Une personne loue une maison \`a partir du  1 janvier 2000. Elle a le choix entre deux formules de contrat.\par
Dans les deux cas, le \textbf{loyer annuel} initial est de $3600$  \euro\    et le locataire s'engage \`a occuper la maison\par pendant neuf ann\'ees compl\`etes.
\begin{enumerate}
\item Contrat 1 :

Le locataire accepte une augmentation annuelle de $6$ \%  du loyer de l'ann\'ee pr\'ec\'edente.

On note $u_n$ le \textbf{loyer annuel} pour l'ann\'ee $2000+n$.
\begin{enumerate}
\item Que vaut $u_0$? Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ? Justifier la r\'eponse.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. Calculer $u_6$ (arrondir le r\'esultat \`a l'unit\'e) ;\par que repr\'esente ce r\'esultat?
\item Soit $G_n$ la somme pay\'ee \`a l'issue de $(n+1)$ ann\'ees de contrat. Exprimer $G_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}

\item Contrat 2 :

Le locataire accepte une augmentation annuelle constante de $300$ \euro\   du loyer de l'ann\'ee pr\'ec\'edente.
On note $v_n$ le \textbf{loyer annuel} pour l'ann\'ee $2000+n$.
\begin{enumerate}
\item Que vaut $v_0$? Calculer $v_1$ et $v_2$.
\item Quelle est la nature de la suite $(v_n)$? Justifier la r\'eponse.
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$. Calculer $v_6$ ; que repr\'esente ce r\'esultat?
\item Soit $A_n$ la somme pay\'ee \`a l'issue de $(n+1)$ ann\'ees de contrat. Exprimer $A_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}

\item Quel est le contrat le plus avantageux pour le locataire \`a l'issue des $9$ ann\'ees? Justifier la r\'eponse.

\item On suppose maintenant que le locataire reste dans la maison 20 ans aux m\^emes conditions\par d'augmentations annuelles.
A partir de quelle ann\'ee le contrat 2 aura \'et\'e le plus avantageux?\par Justifier la r\'eponse.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\newpage
\vspace*{0.5cm}

 
\begin{exercice}[(6 pts)]
\textbf{Partie A}

\medskip

On consid\`ere l'algorithme suivant :

Les variables sont le r\'eel $U$ et les entiers naturels $k$ et $N$.\\
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{9cm}
\textbf{Entr\'ee}

Saisir le nombre entier naturel non nul $N$.\\

\noindent \textbf{Traitement}\\
Affecter \`a $U$ la valeur 3\\
Pour $k$ allant de 0 \`a $N$\\

\noindent Affecter \`a $U$ la valeur $\dfrac{1}{4}U+3$\\
Fin pour\\

\noindent \textbf{Sortie}\\
\noindent Afficher $U$
\end{minipage}}
\end{center}
\medskip

Quel est l'affichage en sortie lorsque $N = 2$ ? (justifier)

\bigskip
\textbf{Partie B}

\medskip

On consid\`ere la suite $\left(u_n\right)$ d\'efinie par $u_0=3$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{4}u_n+3$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ n'est ni arithm\'etique ni g\'eom\'etrique.
\item Soit la suite $\left(v_n\right)$ d\'efinie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - 4$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $v_{n+1}=\dfrac{1}{4}v_n$.
        
        En d\'eduire que $\left(v_n\right)$ est une suite g\'eom\'etrique dont on pr\'ecisera la raison et le premier terme.
		\item Donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$, et en d\'eduire que $u_n = 4 - (\dfrac{1}{4})^n$,
        
        pour tout entier naturel $n$.
	\end{enumerate}
    
\item \begin{enumerate}
      \item Montrer que $(u_n)$ est une suite croissante sur $\N$.
	  \item D\'eterminer \`a l'aide de la calculatrice le plus petit entier $n$ tel que $u_n \geqslant 3,99$.
	  \item Modifier l'algorithme pour qu'il affiche en sortie la valeur du plus petit entier $n$ tel que $u_n\geqslant 3,99$.
	 \end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\end{exercice}



\end{document}