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\newcommand{\exo}[1]{\begin{exercice}{}}
\newcommand{\finexo}{\end{exercice}}


\pagestyle{empty}
\begin{document}


\devoir{1èreS}{11}{20 mai 2010}{2H}
\vspace{-0.5cm}


\begin{exercice}[(5 points)] \textbf{Contrôle qualité d'un médicament}\par
Un laboratoire pharmaceutique effectue une étude statistique sur un médicament produit sous la forme de granules de $100\: mg$.
Chaque granule contient $0,024$ \% de manganèse, le reste étant constitué par un excépient à base de lactose.\par
Le tableau suivant donne la différence de masse, en $mg$, de chaque granule d'un lot testé, par rapport au poids théorique.

\begin{center}\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
\textsf{\textcolor{black}{différence}}&
\textsf{\textcolor{black}{$-5$}}&
\textsf{\textcolor{black}{$-4$}}&
\textsf{\textcolor{black}{$-3$}}&
\textsf{\textcolor{black}{$-2$}}&
\textsf{\textcolor{black}{$-1$}}&
\textsf{\textcolor{black}{$0$}}&
\textsf{\textcolor{black}{$1$}}&
\textsf{\textcolor{black}{$2$}}&
\textsf{\textcolor{black}{$3$}}&
\textsf{\textcolor{black}{$4$}}&
\textsf{\textcolor{black}{$5$}}\tabularnewline
\hline
\hline 
\textsf{\textcolor{black}{effectif}}&
\textsf{\textcolor{black}{$3$}}&
\textsf{\textcolor{black}{$7$}}&
\textsf{\textcolor{black}{$14$}}&
\textsf{\textcolor{black}{$29$}}&
\textsf{\textcolor{black}{$70$}}&
\textsf{\textcolor{black}{$75$}}&
\textsf{\textcolor{black}{$80$}}&
\textsf{\textcolor{black}{$42$}}&
\textsf{\textcolor{black}{$39$}}&
\textsf{\textcolor{black}{$33$}}&
\textsf{\textcolor{black}{$8$}}\tabularnewline
\hline
\end{tabular}\end{center}

\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 	\item Déterminer la valeur médiane, le 1er et le 3ème Quartile de cette série. (justifier)
	\item Construire le diagramme en boîte de la série.
	\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}
 	\item Calculer la moyenne $\overline{x}$ et l'écart-type $s$ de cette série.
 	\item On considère qu'un lot est valable lorsque plus de $95$ \% des granules ont une différence de masse comprise dans l'intervalle $[\overline{x}-2s;\overline{x}+2s]$. Ce lot est-il valable ?
	\end{enumerate}

\item Calculer la masse moyenne de manganèse par granule. Quel est l'écart-type correspondant ?
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}[(4 points)] 
Etudier le sens de variation des suites suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\begin{cases} u_{n+1}=3u_n^2+u_n+1, \ \ n\in \N \\ u_0=-4 \end{cases}$
\item $\begin{cases} u_{n+1}=\dfrac{u_n}{3} \\ u_0=-3 \end{cases}$
\item $u_n=2^{3n}\times4n^2$, $n\in \N^\star$.
\item $u_n=\dfrac{-3n+1}{5n+2}$, $n\in \N$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercice}


\begin{exercice}[(1,5 points)]
La suite $(u_n)$ définie par : $u_n=5^{2n+4}$, $n\in \N$ est-elle géométrique ?\par
Si oui, préciser la raison et le premier terme.
\end{exercice}


\begin{exercice}[(4 points)]
Déterminer, si elle existe, la limite des suites suivantes :
\begin{enumerate}
\item $u_n=n^2+n\times(-1)^n$, $n \in \N$.
\item $u_n=1+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5^2}+\dots++\dfrac{1}{5^n}$, $n\in \N$.
\item $u_n=\dfrac{2^n+3^n}{2^n-3^n}$, $n\in \N$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\newpage
\begin{exercice}[(5,5 points)]
On considère la suite $(u_{n})$ définie par : 
\begin{center}\textsf{\textcolor{black}{}}\begin{tabular}{lr}
\textsf{\textcolor{black}{$u_{0}=1$}}&
\tabularnewline
$u_{n+1}=\dfrac{5u_{n}-1}{4u_{n}+1}$ , pour tout entier naturel n.
\end{tabular}\end{center}

\begin{enumerate}
 \item Calculer $u_{1}$, $u_{2}$, et $u_{3}$ ; en déduire que $(u_{n})$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.
 \item On considère la suite $(v_{n})$ définie par : 
\begin{center} $v_{n}=\dfrac{1}{u_{n}-\frac{1}{2}}$, pour tout entier naturel $n$.\end{center}
	\begin{enumerate}
	\item Calculer $v_{0}$, $v_{1}$, $v_{2}$, et $v_{3}$.
	\item Démontrer que $(v_{n})$ est une suite arithmétique.
	\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
	\item En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
	\item Etudier la limite des suites $(v_{n})$ et $(u_{n})$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}






\end{document}