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\newcommand{\exo}[1]{\begin{exercice}{}}
\newcommand{\finexo}{\end{exercice}}


\pagestyle{empty}
\begin{document}


\devoir{1èreS}{10}{20 avril 2010}{2H}
\vspace{-0.5cm}


\begin{exercice}[(4,5 points)]
Soit $AGH$ un triangle équilatéral de sens direct. On construit :
\begin{itemize}
\item le parallélogramme $ABFG$ de sens direct tel que $(\vect{BF},\vect{BA})=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi$ avec $k \in \Z$,
\item un point $C$ tel que $(\vect{FG},\vect{FC})=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$ avec $k \in \Z$,
\item un parallélogramme de sens direct $FCDE$.
\end{itemize}
Le but de l'exercice est de démontrer que les droites $(AH)$ et $(DE)$ sont parallèles.\par
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}  \includegraphics[scale=0.6]{figure.eps} \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
\begin{enumerate}
\item Déterminer $(\vect{AH},\vect{AG})$.
\item Démontrer que $(\vect{AG},\vect{AB})=-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$ ($k \in \Z$).
\item Démontrer que $(\vect{AB},\vect{DE})=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$ ($k \in \Z$).
\item En utilisant les questions précédentes,\par calculer $(\vect{AH},\vect{DE})$ et conclure.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\end{exercice}
\vspace*{-1cm}


\begin{exercice}[(5,5 points)]
\begin{enumerate}
\item On donne $\sin x=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$ et $x \in [0;\dfrac{\pi}{2}]$ ; 
	calculer $\cos x$, $\sin 2x$ et $\cos 2x$, et en déduire la valeur de $x$.
\item Montrer l'égalité : \hspace{0.2cm} $ 4\cos^2 x + 2\sin^2 x = 3+\cos 2x $
\item Simplifier l'expression \hspace{0.2cm} $A(x)=\sin 3x\cos x-\sin x\cos 3x$ \hspace{0.2cm} ; \hspace{0.2cm} en déduire que \hspace{0.2cm} $\dfrac{\sin 3x}{\sin x}-\dfrac{\cos 3x}{\cos x}=2$.
\end{enumerate}
\end{exercice}
\vspace*{-0.3cm}


\begin{exercice}[(6 points)] 
\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans $[0;2\pi[$ l'inéquation : \hspace{1cm} $ 2\sin x +\sqrt 3 >0 $
\item  Résoudre dans $[-\pi;\pi]$ l'équation : \hspace{1cm} $ 1-\sqrt{2} \cos (\dfrac{\pi}{3}-x)=0 $
\item  Résoudre dans $[-\pi;\pi]$ l'équation : \hspace{1cm} $ \sin(2x-\dfrac{\pi}{6})=\cos(\dfrac{\pi}{4}-x)$
\end{enumerate}
\end{exercice}
\vspace*{-0.3cm}


\begin{exercice}[(4 points)]\par
Dans un repère orthonormal direct $\Oij$, on considère le point $M$ de coordonnées $(2\sqrt{3};2)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées polaires de $M$.
\item Soit le point $N$ tel que $ON=OM$ et $(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON})=\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi$, ($k \in \Z$) ;\par
déterminer les coordonnées polaires de $N$.
\item En utilisant les formules d'addition, calculer $\cos (\dfrac{11\pi}{12})$ et $\sin (\dfrac{11\pi}{12})$ ;\par
en déduire les coordonnées cartésiennes de $N$.
\end{enumerate}
\end{exercice}





\end{document}