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\newcommand{\exo}[1]{\begin{exercice}{}}
\newcommand{\finexo}{\end{exercice}}


\pagestyle{empty}
\begin{document}


\devoir{1èreS}{7}{9 février 2010}{1H}
\vspace{-0.5cm}


\begin{exercice}[(6,5 points)]\par
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies respectivement sur $\R$ et sur $\R~\backslash \{0\}$ par
\[f(x)=x^2-3 \hspace*{1cm} et \hspace*{1cm} g(x)=\dfrac{16}{x}\].
\begin{enumerate}
\item Comparer les fonctions $f$ et $g$ en étudiant les variations de la fonction $h=f-g$.\par
(Démarche :
\begin{itemize}
 \item Calculer $h'(x)$ et déterminer son signe (remarque : $-2$ est racine de $x^3+8$).
 \item Dresser le tableau complet des variations de $h$ sans justifier les limites.
 \item Montrer que $h(x)=0$ admet une seule solution $\alpha$ sur $\R~\backslash \{0\}$.
 \item Conclure.)
\end{itemize}
\item En déduire la position relative des courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}[(5 points)]
\begin{minipage}{10 cm}
Une boîte à bijoux a la forme d'un parallélépipède rectangle à base carrée (représenté ci-contre).\par
Son volume est de 1,5 $dm^3$.\par
Le matériau utilisé pour construire les bases coûte 600 \euro~ le $m^2$, et celui utilisé pour construire la surface latérale coûte 400 \euro~ le $m^2$.\par
On veut déterminer les dimensions de la boîte pour que le prix de revient soit minimal.\par
On appelle $x$ le côté du carré de base et $l$ la longueur de la boîte en $dm$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{8 cm}
\begin{center}  \includegraphics[scale=0.2]{boite.eps} \end{center}
\end{minipage}

\vspace{0.5cm}
\begin{enumerate}
\item Exprimer le volume total de la boîte en fonction de $x$ et $l$ ; en déduire $l$ en fonction de $x$.
\item Exprimer l'aire totale des bases, puis l'aire latérale de la boîte en fonction de $x$.
\item Justifier que le prix de revient s'écrit $P(x)=12x^2+\dfrac{24}{x}$.
\item Etudier les variations de $P$.
\item Conclure en déterminant les dimensions de la boîte en $cm$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}[(8,5 points)]
On considère la fonction $f$ définie sur $]0;\pI[$ par : \[f(x)=1-\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^2}\]
On note $\calc_{f}$ sa courbe représentative dans un repère \Oij.

\vspace{0.2cm}
\begin{enumerate}
 \item Etudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition.
 \item Soit la fonction $g$ définie sur $]0;\pI[$ par : $g(x)=1-\dfrac{1}{x}$.
	\begin{enumerate}
	\item Montrer que $\calc_{g}$ la courbe représentative de $g$ est asymptote à $\calc_{f}$ en $\pI$.
	\item Préciser la position relative de $\calc_{f}$ et de $\calc_{g}$.
	\end{enumerate}
 \item Calculer $f'$ la dérivée de $f$, puis dresser le tableau de variations de $f$.
 \item Résoudre l'équation $f(x)=0$ sur $]0;\pI[$, et interpréter graphiquement.
 \item Ecrire l'équation de la tangente $T_{A}$ à $\calc_{f}$ au point $A$ d'abscisse $2$, et l'équation de la tangente $T_{B}$ à $\calc_{g}$ au point $B$ d'abscisse $1$.
 \item Construire les courbes $\calc_{f}$ et $\calc_{g}$ dans le repère ci-joint.
\end{enumerate}
\end{exercice}
\newpage


\vspace*{1cm}
\includegraphics[scale=0.5]{repere.eps} 


\end{document}