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\newcommand{\exo}[1]{\begin{exercice}{}}
\newcommand{\finexo}{\end{exercice}}


\pagestyle{empty}
\begin{document}

\vspace*{0.5cm}
\devoir{1èreES}{9}{27 mai 2013}{1h}



\begin{exercice}[(3 points)]
\begin{enumerate}
\item La suite $(u_n)$ est une suite arithmétique avec $u_5=2$ et $u_{10}=-18$ : calculer sa raison $r$ et calculer $u_{22}$.
\item La suite $(v_n)$ est une suite géométrique avec $v_5=1$ et $v_{10}=32$ : calculer sa raison $q$ et calculer $v_{12}$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}[(4 points)]
Etudier le sens de variation des suites ci-dessous :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $u_n=5n+3$ ($n \in \N$) \item $v_n=\dfrac{2n}{n+1}$ ($n \in \N$)
\item $\left\{\begin{array}{@{}l}
	w_0=-2 \\
	w_{n+1}=w_n-n^2 
	\end{array}
	\right.$  ($n \in \N$)
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}[6 points]
On souhaite comparer deux placements :\par
- placement A : dépôt initial de 500 € et un versement mensuel de 10 € ;\par
- placement B : dépôt initial de 400 € et un versement mensuel de 5 \% du capital placé.\par
\medskip
On note $a_n$ le capital en euros, obtenu par le placement A, et on note $b_n$ le capital en euros,\par
obtenu par le placement B, après $n$ mois de versement.\par
\medskip
Ainsi $a_0=500$ et $b_0=400$.
\medskip

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
      \item Calculer $a_1$ et $a_2$.
      \item Exprimer $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$ ; quelle est la nature de la suite $(a_n)$ ?
      \item En déduire l'expression de $a_n$ en fonction de $n$.
      \item Calculer $a_7$ et interpréter le résultat.
      \end{enumerate}
\medskip
\item \begin{enumerate}
      \item Calculer $b_1$ et $b_2$.
      \item Exprimer $b_{n+1}$ en fonction de $b_n$ ; quelle est la nature de la suite $(b_n)$ ?
      \item En déduire l'expression de $b_n$ en fonction de $n$.
      \item Calculer $b_7$ et interpréter le résultat. (arrondir au centime d'euro)
      \end{enumerate}
\medskip
\item Déterminer au bout de combien de mois le capital $b_n$ devient supérieur au capital $a_n$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}[7 points]
Le 1er janvier 2012, une grande entreprise compte 1500 employés. Une étude montre que lors de chaque année\par à venir, 10 \% de l'effectif de l'entreprise partira à la retraite au cours de l'année.\par
Pour ajuster ses effectifs à ses besoins, l'entreprise embauche 100 jeunes dans l'année.\par
Pour tout entier naturel $n$, on appelle $u_n$ le nombre d'employés de l'entreprise le 1er janvier de l'année $(2012+n)$ ;\par $u_0=1500$.
\medskip
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item Calculer $u_1$ et $u_2$.
       \item La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ? géométrique ? (justifier par un calcul)
       \item Expliquer pourquoi on a : $u_{n+1}=0,9u_n+100$ pour tout entier naturel $n$.
      \end{enumerate}
\medskip

\item Pour tout entier naturel $n$, on pose : $v_n=u_n-1000$.
      \begin{enumerate}
       \item Calculer $v_0$, $v_1$ et $v_2$.
       \item Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique.
       \item Exprimer alors $v_{n}$ en fonction de $n$.
       \item En déduire que $u_n=500 \times (0,9)^n + 1000$ pour tout $n\in \N$.
      \end{enumerate}
\medskip

\item On admet que $(u_n)$ est une suite décroissante.\par
      Au 1er janvier 2012, l'entreprise compte un sureffectif de 300 employés.\par
      A partir de quelle année, le contexte restant le même, l'entreprise ne sera-t-elle plus en sureffectif ?
\end{enumerate}
\end{exercice}



\end{document}