\documentclass[11pt]{article} \usepackage{ifthen} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[svgnames]{xcolor} \usepackage{variations} \usepackage{geometry} \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm} \setlength{\parindent}{0pt} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage{ifpdf} \ifpdf \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{} \fi \usepackage{multicol} \setlength{\multicolsep}{12pt} \setlength{\columnsep}{40pt} \setlength{\columnseprule}{0pt} \usepackage{enumitem} % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep} \setenumerate{align=left,leftmargin=*} \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*} \setitemize{nolistsep} \usepackage{amsmath,mathrsfs} \usepackage[np]{numprint} \usepackage[official,right]{eurosym} \usepackage[frenchb]{babel} \frenchbsetup{CompactItemize=false} \DecimalMathComma \newcounter{exercice} \newcounter{refex} \renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}} \newcounter{partie}[exercice] \newcounter{refpart} \renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}} \renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}} \makeatletter \newenvironment{exercice}[1][]{% \stepcounter{exercice} \refstepcounter{refex} \vspace{0.5em} \par \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}% \@xsect{-1em}% \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}% }{\par\vspace{1.5em}} \makeatother \newenvironment{partie}[1][]{% \stepcounter{partie} \refstepcounter{refpart} \par \vspace{0.5ex}\noindent \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}% }\nopagebreak\par% }{\par\vspace{1em}} \def\Oijk{$\left(\text{O}~~;~~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} %%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%% \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} %%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%% \newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[} \newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]} \newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[} \newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]} \newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)} \newcommand{\calc}{\mathscr{C}} \newcommand{\cald}{\mathscr{D}} %%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%% \usepackage[e]{esvect} \newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}} \newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)} \newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}} %%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\sysd}[2]{% \left\{ \begin{aligned} #1\\ #2\\ \end{aligned} \right.% } \newcommand{\syst}[3]{% \left\{ \begin{aligned} #1\\ #2\\ #3 \end{aligned} \right.% } \newcommand{\sysq}[4]{% \left\{ \begin{aligned} #1\\ #2\\ #3 \end{aligned} \right.% } %%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%% \DeclareMathOperator{\card}{Card} % perso nico \newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire \newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} \newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} \newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} \newcommand{\cala}{\mathscr{A}} \newcommand{\calb}{\mathscr{B}} \newcommand{\calp}{\mathscr{P}} \newcommand{\cale}{\mathscr{E}} \newcommand{\calf}{\mathscr{F}} \newcommand{\cals}{\mathscr{S}} \newcommand{\calh}{\mathscr{H}} % pour écrire des limites \newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}} \newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent \newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique \usepackage{enumitem} \usepackage{xypic} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsfonts} \usepackage{mathrsfs} % \usepackage{shortlst} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math} \newtheorem{remarque}{Remarque} \newtheorem{remarque*}{Remarque} \newtheorem{theorem*}{Théorème} \newtheorem{definition*}{Définition} % -------------------------------------------------------------------------------------------------- %devoir surveillé personalisé % #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut % gauche, #4 titre haut droit \newcommand{\devpers}[4]{ %\pagestyle{empty} \noindent \begin{minipage}[t]{\linewidth} \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4} \end{minipage} \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} \vspace{-0.3cm} \rule{\linewidth}{0.5mm} } \newcommand{\cp}[2]{% \begin{pmatrix} #1\\ #2 \end{pmatrix}% } \newenvironment{exnormal}[1]{ \addtocounter{exercice}{1} \vspace{1em} \par \noindent {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :} }{\vspace{0.25em}} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \usepackage{calc} %-------------- extension professor desiree : %\usepackage[xcas]{pro-tablor} \newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}} \newcommand{\finexo}{\end{exnormal}} \RequirePackage{enumitem} \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep} \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*} \setitemize{nolistsep} \newenvironment{colenumerate}[2][]% {\let\olditem\item \let\item\myitem \setcounter{c@lonne}{0} \setcounter{colg@uche}{1} \setcounter{ligh@ut}{1} \setcounter{nbc@l}{#2} \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep} \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}} \end{enumerate}\strut \end{minipage}% } \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol} \addtocounter{c@litem}{1} \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}] } \par \vspace{-\baselineskip} \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2} \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol} \strut\begin{enumerate}[#1] }% {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut \end{minipage} \par\vspace{-\baselineskip} } %inserer une figure à droite du texte %\textfig{largeur en %}{echelle}figure} \newsavebox{\maboite} \newenvironment{textfig}[3]% {\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth} \begin{center} \includegraphics[scale=#2]{#3} \end{center} \end{minipage}} \begin{minipage}{#1\linewidth}}% {\end{minipage} \usebox{\maboite}} % \input{tabvar} \pagestyle{empty} \begin{document} \begin{center} \textbf{\large{Devoir nº9 - Calcul intégral - TSpé}} \end{center} \begin{center} \large{18 mars 2026 - 2h} \end{center} \exo{}{(4,5 pts)} Déterminer la valeur exacte de chaque intégrale. \begin{multicols}{3} $A=\displaystyle \int_{-2}^{-1} ~ \dfrac{4}{x^3}\, \text{d}x$ \par $B=\displaystyle \int_{-1}^2 ~ 3x^2(5x^3-1)^2\, \text{d}x$ \par $C=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} ~ x^2 \cos x\, \text{d}x$ ~~~(2 intégrations par parties successives) \end{multicols} \finexo \exo{}{(6,5 pts)} Une entreprise vend des voitures télécommandées. La vente mensuelle varie entre \np{1000} et \np{5000}~voitures. Une étude montre que la recette mensuelle totale de l'entreprise est de \np{70000} euros lorsqu'elle vend \np{1000} voitures.\par \smallskip On note $r(x)$ la recette mensuelle réalisée par l'entreprise, exprimée en dizaine de milliers d'euros, pour la vente de $x$ milliers de voitures. \medskip \begin{enumerate} \item Donner $r(1)$. \smallskip \item On admet que, pour tout $x \in [1~;~5]$, la recette mensuelle est modélisée par : \[r(x) = 6 + x + 2\ln (x).\] Étudier les variations de $r$ sur l'intervalle $[1~;~5]$. \smallskip \item \begin{enumerate} \item Justifier que l'équation $r(x) = 10$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[1~;~5]$, puis donner une valeur approchée de $\alpha$ au millième. \smallskip \item Déterminer le nombre minimal de voitures télécommandées vendues à partir duquel l'entreprise réalise une recette supérieure à \np{100000}~euros. \end{enumerate} \smallskip \item \begin{enumerate} \item Soit $g$ la fonction définie pour tout $x \in [1~;~5]$ par $g(x) = 2\ln (x)$.\par Montrer que la fonction $G$ définie pour tout $x \in [1~;~5]$ par \[G(x) = 2x[\ln (x) - 1]\] est une primitive de la fonction $g$. \smallskip \item En déduire une primitive $R$ de la fonction $r$ sur l'intervalle $[1~;~5]$. \smallskip \item Donner une valeur approchée à la dizaine d'euros de la valeur moyenne de la recette totale lorsque l'entreprise vend entre \np{2000} et \np{4000} voitures télécommandées. \end{enumerate} \end{enumerate} \finexo \exo{}{(9 pts)} On munit le plan d'un repère orthonormé.\par Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_n$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par : \[f_0(x) = \text{e}^{- x}\quad \text{et, pour }\: n \geqslant 1, \: \: f_n(x) = x^n\text{e}^{-x}.\] Pour tout entier naturel $n$, on note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$.\par \medskip \emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes.} \medskip \textbf{Partie A : Étude des fonctions \boldmath $f_n$ pour $n \geqslant 1$\unboldmath} \medskip On considère un entier naturel $n \geqslant 1$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On admet que la fonction $f_n$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$. Montrer que pour tout $x \geqslant 0$, \[f'_n(x) = (n - x)x^{n-1}\text{e}^{-x}.\] \item Justifier tous les éléments du tableau ci-dessous : \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(7,3.25) \psframe(7,3.25)\psline(0,2.25)(7,2.25)\psline(0,2.75)(7,2.75) \psline(1,0)(1,3.25) \uput[u](0.5,2.65){$x$}\uput[u](1.2,2.65){$0$}\uput[u](4,2.65){$n$}\uput[u](6.6,2.65){$+ \infty$} \rput(0.5,2.5){$f'_n(x)$}\rput[u](2.5,2.5){+}\rput(4,2.5){0}\rput(5.5,2.5){$-$} \uput[u](1.2,0){0}\uput[u](6.8,0){0}\uput[d](4,2.25){$\left(\frac{n}{\text{e}}\right)^n$} \psline{->}(1.5,0.4)(3.4,1.8)\psline{->}(4.4,1.8)(6.4,0.4) \rput(0.5,1.125){$f_n$} \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \medskip \item Justifier par le calcul que le point $A\left(1~;~\text{e}^{-1}\right)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_n$. \end{enumerate} \newpage \textbf{Partie B : Étude des intégrales \boldmath $\displaystyle\int_0^1 f_n(x)\,\text{d}x$\unboldmath{} pour \boldmath $n \geqslant 0$\unboldmath} \medskip Dans cette partie, on étudie les fonctions $f_n$ sur $[0~;1]$, et la suite $(I_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[I_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\,\text{d} x = \displaystyle\int_0^1 x^n \text{e}^{-x}\,\text{d}x.\] \medskip \begin{enumerate} \begin{minipage}{7cm} \item Sur le graphique, sont représentées\par les courbes $\mathcal{C}_0,~\mathcal{C}_1,~\mathcal{C}_2,~ \mathcal{C}_{10}$ et $\mathcal{C}_{100}$. \begin{enumerate} \item Donner une interprétation graphique de $I_n$. \smallskip \item Par lecture de ce graphique, quelles conjectures peut-on émettre sur les\par variations et la limite de la suite $(I_n)$ ? \end{enumerate} \end{minipage} \begin{minipage}{11cm} \begin{center} \psset{unit=10cm,arrowsize=2pt 3,comma=true} \begin{pspicture*}(-0.1,-0.09)(1.05,1.1) \psgrid[unit=1cm,subgriddiv=1,gridlabels=0, gridcolor=lightgray](-1,-1)(11,11) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,0)(1.05,1.1) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{1}{2.71828 x neg exp}\uput[u](0.75,0.47){\red $\mathcal{C}_0$} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.71828 x neg exp x mul}\uput[u](0.75,0.35){\blue $\mathcal{C}_1$} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=gray]{0}{1}{2.71828 x neg exp x dup mul mul}\uput[u](0.75,0.27){\gray $\mathcal{C}_2$} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=magenta]{0}{1}{2.71828 x neg exp x 10 exp mul}\uput[u](0.75,0.06){\magenta $\mathcal{C}_{10}$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{0}{1}{2.71828 x neg exp x 100 exp mul}\uput[u](0.92,0.02){\green $\mathcal{C}_{100}$} \end{pspicture*} \end{center} \end{minipage} \medskip \item Calculer $I_0$. \medskip \item \begin{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel. Démontrer que pour tout $x \in [0~;~1]$,\: \[0 \leqslant x^{n+1} \leqslant x^n.\] \item En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a : \[0 \leqslant I_{n+1} \leqslant I_n.\] \end{enumerate} \item Démontrer que la suite $(I_n)$ est convergente, vers une limite positive ou nulle que l'on notera $\ell$. \medskip \item En utilisant une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a : \[I_{n+1} = (n + 1)I_n - \dfrac{1}{\text{e}}.\] \item \begin{enumerate} \item Démontrer que si $\ell > 0$, l'égalité de la question 5 conduit à une contradiction. \smallskip \item Démontrer que $\ell = 0$. On pourra utiliser la question 6. a. \end{enumerate} \end{enumerate} \finexo \end{document}