\documentclass[11pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{tabularx}
  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}


\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº7 - Fonctions et suites - TSpé}}  \end{center}
\begin{center}  \large{14 janvier 2026 - 2h}  \end{center}

\exo{}{(8 pts)} Soit $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur $\R$. On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.\par

\begin{minipage}{10cm}
\begin{list}{\textbullet}{Dans le repère orthonormé ci-dessous ont été représentés :}
\item la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ ;
\item la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ en son point N(0~;~2);
\item le point M$(-2~;~0)$ appartenant à $\mathcal{C}_f$ et P(2~;~0)\par appartenant à la tangente $T$.
\end{list}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-2.5,-1.5)(5.5,3.5)
\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray] 
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2.5,-1.5)(5.5,3.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2.5}{5.5}{x 2 add 2.71828 x exp div}
\psplotTangent{0}{4.5}{x 2 add 2.71828 x exp div}
\psdots(-2,0)(0,2)(2,0)
\uput[ul](-2,0){M} \uput[ur](0,2){N} \uput[ur](2,0){P}\uput[d](3,-1){$T$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}


\begin{center} \textbf{Partie A : Etude graphique}\end{center}

On justifiera toutes les réponses en utilisant le graphique.

\begin{enumerate}
\item Donner $f(0)$ et déterminer $f'(0)$.
\smallskip	
\item Résoudre l'équation $f(x) = 0$.
\smallskip
\item La fonction $f$ est-elle convexe sur $\R$ ?
\smallskip
\item Parmi les courbes suivantes, indiquer laquelle peut représenter une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Courbe 1&Courbe 2&Courbe 3\\ \hline
\psset{unit=0.4cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-2.5,-8)(8,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2.5,-8)(8,3)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2.5}{5.5}{x 1 add 2.71828 x exp div neg}
\end{pspicture*}&
\psset{unit=0.4cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-4,-8)(6,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,-8)(6,3)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-4}{5.5}{x 3 add 2.71828 x exp div neg}
\end{pspicture*}
&\psset{unit=0.4cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-2.5,-8)(8,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2.5,-8)(8,3)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2.5}{5.5}{x 1 sub 2.71828 x exp div neg}
\end{pspicture*}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}


\begin{center} \textbf{Partie B : Recherche d'une expression algébrique}\end{center}

On admet que la fonction $f$ est de la forme \[f(x)= (ax + b)\text{e}^{\lambda x},\]
où $a,~b$ et $\lambda$ sont des constantes réelles.

\begin{enumerate}
\item Justifier que $b = 2$.
\smallskip
\item Justifier que $-2a + b = 0$ puis en déduire la valeur de $a$.
\smallskip
\item Déterminer une expression algébrique de $f$. Justifier.
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Partie C : Etude algébrique}\end{center}

On admet que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par \[f(x) = (x + 2)\text{e}^{-x}.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
\smallskip
\item On admet que $f'(x) =(- x - 1)\text{e}^{-x}$. Dresser le tableau de variations complet de $f$.
\smallskip
\item \begin{enumerate}
		\item Étudier la convexité de $f$.
		\smallskip
		\item Préciser les coordonnées des éventuels points d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\finexo



\newpage
\exo{}{(8 pts)} On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par :
\[ f(x) = \ln \left(\text{e}^{\frac{x}{2}} + 2\right) \]
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = \ln (9)$ et, pour tout entier naturel $n$,
\[ u_{n+1} = f(u_{n}) \]

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
\smallskip
\item Montrer que $f(2\ln (2)) = 2\ln (2)$.
\smallskip
\item Montrer que $u_{1} = \ln (5)$.
\smallskip
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a :
\[2\ln(2) \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n}\]
\item En déduire que la suite $(u_{n})$ converge.
\smallskip
\item \begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation : $X^{2} - X - 2 = 0$.
		\smallskip
		\item En déduire l'ensemble des solutions sur $\R$ de l'équation :
        $\text{e}^{x} - \text{e}^{\frac{x}{2}} - 2 = 0$.
        \smallskip
		\item En déduire l'ensemble des solutions sur $\R$ de l'équation $f(x) = x$.
		\smallskip
		\item Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\finexo


\exo{}{(4 pts)} \emph{Les trois questions de cet exercice sont indépendantes}

\begin{enumerate}
\item Soit $(S_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par 
\[S_n = 1 + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5^2} + \ldots + \dfrac{1}{5^n}.\]
Déterminer la limite de la suite $(S_n)$.
\medskip

\item Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[labelindent=\parindent,
                 leftmargin=*,
                 label={$\protect f_{\arabic*}(x) = \ $}]

\item $x^2+x-\dfrac{1}{x^2}$ ~~~~~ sur $\R \backslash \{0\}$
\medskip
\item $\text{e}^{1-3x}$ ~~~~~ sur $\R$
\medskip
\item $\dfrac{x-1}{x^2-2x+3}$ ~~~~~ sur $\R$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\medskip

\item Résoudre l'équation $\ln (x+1) + \ln (x-4) = \ln (5)$ dans $\R$.
\end{enumerate}
\finexo


\vspace{2cm}
\exo{}{(Bonus ou DM :)} Soit $k$ est un nombre réel strictement positif.

On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par: \[g(x) = \ln (x) - kx.\]
On admet que le tableau des variations de la fonction $g$ est le suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7.5,2.5)
\psframe(7.5,2.5)\psline(0,1.5)(7.5,1.5)
\psline(1.5,0)(1.5,2.5)
\uput[u](0.75,1.4){$x$} \uput[u](1.65,1.4){$0$} \uput[u](4.5,1.4){$\dfrac 1k$} 
\uput[u](7,1.4){$+ \infty$}
\rput(0.75,0.75){$g(x)$}\uput[u](2,0){$- \infty$}\uput[d](4.5,1.5){$g\left(\frac 1k\right)$}
\uput[u](7,0){$- \infty$}
\psline{->}(2,0.5)(4,1)\psline{->}(5,1)(7,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Donner, en fonction du signe de $g\left(\dfrac 1k\right)$, le nombre de solutions de l'équation $g(x) = 0$.
\smallskip
\item Calculer $g\left(\dfrac 1k\right)$ en fonction du réel $k$, puis montrer que $g\left(\dfrac 1k\right) > 0$ équivaut à $\ln (k) < - 1$.
\item Déterminer l'ensemble des valeurs de $k$ pour lesquelles l'équation $\ln (x) = kx$ possède exactement deux solutions.
\item Donner, selon les valeurs de $k$, le nombre de solutions de l'équation $\ln (x) = kx$.
\end{enumerate}
\finexo




\end{document}