\documentclass[11pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
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  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
    \usepackage{tabularx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
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  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}


\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº5 - Convexité - TVI - TSpé maths}}  \end{center}
\begin{center}  \large{3 décembre 2025 - 45 min}  \end{center}


\exo{}{(10,5 pts)} On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]-\infty~;~1[$ par $f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{x - 1}$.\par
\medskip
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]-\infty~;~1[$ .

On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en 1 ; en déduire une interprétation graphique.
\medskip	
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$ ; en déduire une interprétation graphique.
\medskip
\item \begin{enumerate}
		\item Calculer la fonction dérivée $f'$ sur $]-\infty~;~1[$.
		\smallskip
		\item Dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\medskip	
\item On admet que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]-\infty~;~1[$, on a 
\[f''(x) = \dfrac{\left(x^2 -4x + 5\right) \text{e}^x}{(x - 1)^3}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $]-\infty~;~1[$.
		\smallskip
		\item Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.
		\smallskip
		\item En déduire que, pour tout réel $x ~ \in ~ ]-\infty~;~1[$, on a :
		\[\text{e}^x \geqslant  (-2x - 1)(x-1).\]
	\end{enumerate}
\medskip	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'équation $f(x) = -2$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $]-\infty~;~1[$.
		\smallskip
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\medskip	
\item \textbf{Bonus :} Calculer $f''$ sur $]-\infty~;~1[$.	
\end{enumerate}
\finexo


\exo{}{(4,5 pts)} On considère une fonction $f$ définie sur $]\mI;6]$ dont on donne le graphe ci-dessous.\par
Soit $g$ la fonction définie sur $]\mI;6]$ par $g(x)=\text{e}^{f(x)}$.

\begin{minipage}{10cm}
\begin{enumerate}
 \item Déterminer la limite de la fonction $g$ en $\mI$.
 \medskip
 \item Donner les variations de la fonction $f$ et en déduire les variations de la fonction $g$.
 \medskip
 \item Calculer $g'(1)$ et $g'(3)$ (bien justifier).
 \medskip 
 \item Résoudre $g(x)=\text{e}$.
\end{enumerate}
 
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center} \includegraphics[scale=0.3]{composee.eps} \end{center}
\end{minipage}
\finexo


\newpage

\exo{}{(A faire à la maison)} On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par :
\[f(x) = x\text{e}^{-x}.\]
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $[0~;~ +\infty[$.

On note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En remarquant que pour tout $x$ dans $[0~;~ +\infty[$, on a $f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x}$, démontrer que la courbe $\mathcal{C}_f$\par possède une asymptote en $+ \infty$ dont on donnera une équation.
\medskip
\item Démontrer que pour tout réel $x$ appartenant à $[0~;~ +\infty[$ : \[f'(x) = (1 - x)\text{e}^{-x}.\]
\item Dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $[0~;~ +\infty[$.
\medskip
\item Déterminer, sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$, le nombre de solutions de l'équation : $f(x) = \dfrac{367}{\np{1000}}$.
\medskip
\item On admet que pour tout $x$ appartenant à $[0~;~ +\infty[$ : \[f''(x) = \text{e}^{-x}(x - 2).\]
Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.\par
\medskip

\begin{minipage}{10cm}
\item Soit $a$ un réel appartenant à $[0~;~ +\infty[$ et soit $A$ le
point de la courbe $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$.\par
On note $T_a$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $A$.\par
On note $H_a$ le point d'intersection de la droite $T_a$ et de l'axe des ordonnées.\par
On note $g(a)$ l'ordonnée de $H_a$.\par
La situation est représentée sur la figure ci-contre.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{7cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-0.1)(6,0.5)
\psaxes[linewidth=1.15pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,0)(6,0.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{6}{x 2.71828 x exp div}
\uput[u](4,0.073){\red $\mathcal{C}_f$}
\psplotTangent{0.75}{1.25}{x 2.71828 x exp div}
\uput[u](0.75,0.354){A}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.3pt](0.75,0)(0.75,0.354)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-0.3,0)(-0.3,0.265)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.3pt](0,0.265)(-0.3,0.265)
\uput[l](-0.3,0.1325){$g(a)$}
\uput[ul](0,0.265){H$_a$}
\uput[d](0.75,0){$a$}\uput[u](2,0.4){$T_a$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer qu'une équation réduite de la tangente $T_a$ est : \[y = \left[(1- a)\e^{-a}\right]x + a^2\e^{-a}.\]
		\item En déduire l'expression de $g(a)$.
		\smallskip
		\item Démontrer que $g(a)$ est maximum lorsque A est un point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$.\par 
        \emph{Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\finexo

\end{document}